あるクラスの児童について次のことが分かっているとき、論理的に確実にいえることとして最も妥当なのはどれか。

○　逆上がりができる人は、平泳ぎができる。
○　前転ができない人は、逆上がりができない。
○　二重跳びができない人は、平泳ぎができない。

1．逆上がりができる人は、二重跳びができる。
2．前転ができない人は、二重跳びができない。
3．二重跳びができる人は、前転ができる。
4．平泳ぎができる人は、前転ができる。
5．二重跳びができる人は、逆上がりができる。

　解 説　　　　　

◯◯ は△△　という形式の条件なので命題です。対偶を考えます。（類題 2020年 no8)。

以下、できるを 〇。できないを ×。逆上がりを逆、平泳ぎを平、前転を前、二重跳びをニ重と略します。与えられた条件と対偶は、以下のように表されます。

・逆 ◯ → 平 ◯　対偶：平☓ → 逆☓
・前 ☓ → 逆 ☓　対偶：逆 ◯ → 前 ◯
・二重 ☓ → 平 ☓　対偶：平 ◯ → 二重 ◯

選択肢 1 は妥当です。
逆 ◯ → 平 ◯ → 二重 ◯　となります。

正解が見つかったため、選択肢 2 以降について、検討は不要です。本番では、選択肢 2 以降を全く検討しないのは不安かもしれません。その場合は番号に印をつけておき、ほかの問題を解き終わって時間が余った時見直すという流れが おすすめです。

以上より、正解は 1 です。

 Ａ～Ｄの 4 人が、旅行先で絵はがきを購入し、それぞれ何枚かを友人に送った。次のことが分かっているとき、確実にいえることとして最も妥当なのはどれか。ただし、 4 人とも未使用の絵はがき以外は全て送ったものとする。

○　Ａは 3 枚、Ｂは 5 枚、Ｃは 6 枚、Ｄは 4 枚購入した。
○　4 人とも 1 枚以上送った。
○　Ｂ、Ｃ、Ｄの 3 人は、いずれもＡが送った枚数の 4 倍以上の枚数を送った。
○　4 人のうち 2 人には未使用の絵はがきがあった。また、 1 人の未使用枚数は、もう 1 人の未使用枚数の 2 倍であった。

1．Ｂが送った枚数とＣが送った枚数の差は、 2 枚である。
2．送った枚数が最も多かった者と最も少なかった者の枚数の差は、 4 枚である。
3．Ａ～Ｄの 4 人が送った枚数の合計は、14 枚である。
4．ＣとＤの 2 人が送った枚数の合計は、 9 枚である。
5．未使用枚数は、Ａが最も多い。

　解 説　　　　　

・対応問題の１種ですが、整数問題の要素が強く、例年の no9 のように対応表を書いても条件が整理できず、少し戸惑ったかもしれません。

条件の３つ目が非常に強力な条件です。A が仮に２枚以上送っていたとすると、「Ａが送った枚数の 4 倍」が８枚以上になり、誰もそんなに多く絵はがきを購入していないため、ありえません。つまり、A が送ったのが１枚ということを、この条件は示しています。

さらに、A の４倍、つまり４枚以上、B ~ D は友人に絵はがきを送ったはずなんですが、D が購入した絵はがきが４枚でした。従って、D が送った枚数は４枚と確定します。

・最後の条件についてですが
「４人のうち２人に未使用があった」は、言い換えれば「４人のうち２人には、未使用がなかった＝購入した全てを友人に送った」ということです。A は３枚購入して、１枚送っているので、未使用があります。D は４枚購入して、４枚送っているので、未使用なしです。そのため、B or C どちらか１人が、購入した全てのはがきを友人に送っています。そこで、B が全て送った場合と、C が全て送った場合でケース分けして、以下考えます。

【ケース１： B が５枚全て送った】

A：３枚購入、１枚送付・・・未使用２枚
B：５枚購入、５枚送付
D：４枚購入、４枚送付　が確定します。未使用枚数についての条件（「1 人の未使用枚数は、もう 1 人の未使用枚数の 2 倍」）から、C の未使用枚数は１枚です。ということは、５枚送付したと確定します。結果を表にまとめると、以下のようになります。

【ケース２：C が６枚全て送った】

A：３枚購入、１枚送付・・・未使用２枚
C：６枚購入、６枚送付
D：４枚購入、４枚送付　が確定します。

未使用枚数についての条件から、B の未使用枚数は１枚です。従って、４枚送付したと確定します。結果を表にまとめると、以下のようになります。

以上をふまえ、各選択肢を検討します。

選択肢 1 ですが
【ケース１】において、B,C 送付枚数の差は０です。選択肢 1 は誤りです。

選択肢 2 ですが
【ケース２】において、最大送付枚数：C ６枚、最小送付枚数：A 1 枚なので、差が５枚です。選択肢 2 は誤りです。

選択肢 3 ですが
【ケース１、２】共に、合計１４枚ではありません。選択肢 3 は誤りです。

選択肢 4 ですが
【ケース２】において、C,D 合わせて１０枚です。選択肢 4 は誤りです。

以上より、１～４誤りなので、正解は 5 です。

図のように六つの区画に仕切られた容器があり、各区画には国産豚肉、国産牛肉、米国産豚肉、米国産牛肉、豪州産牛肉のうちのいずれか 1 種類のみが盛られている。次のことが分かっているとき、確実にいえることとして最も妥当なのはどれか。

○　国産の肉が盛られた二つの区画どうしは隣り合っていた。

○　米国産の肉が盛られた区画は二つあり、それらは隣り合っていなかった。同様に、豪州産の肉が盛られた区画は二つあり、それらも隣り合っていなかった。

○　国産牛肉が盛られた区画と米国産牛肉が盛られた区画がそれぞれ一つあり、それらは隣り合っていなかった。

1．豚肉が盛られた二つの区画どうしは隣り合っていなかった。
2．米国産牛肉が盛られた区画は、豪州産牛肉が盛られた区画と隣り合っていた。
3．国産豚肉と豪州産牛肉は隣り合っていなかった。
4．牛肉が盛られた区画は三つあった。
5．牛肉が盛られた区画のうちの一つは、牛肉が盛られた他の三つの区画と隣り合っていた。

　解 説　　　　　

箇条書きされた部分について、上から条件１、条件２、条件３とします。

まず、六つの区画を見て「真ん中の区画は、他の全ての区画と接している」、「真ん中以外の区画は、真ん中の区画と、隣接する２つの区画と接する」という点を意識します。

問題文から、各区画には１種類の肉しか乗りません。真ん中の区画は、他の全ての区画と接することも合わせると「もし米国産、豪州産の肉が真ん中の区画にあれば、必ずもう１種類の肉と隣り合う」ことがわかります。従って、条件２より「米国産、豪州産の肉は、真ん中の区画ではない → 真ん中の区画は国産肉」とわかります。

さらに、条件３より、国産牛と米国牛が隣り合っていないとあります。これにより、国産「牛」と米国牛は共に真ん中の区画ではないとわかります。従って、真ん中の区画は国産の豚肉と確定します。国産の牛は真ん中以外のどの区画であっても隣り合うので、適当に下の区画に配置して考えていきます。（参考図１）。

国産牛と、米国牛が隣接しないので、米国牛の区画として、候補が２つに絞られます。ケース１、ケース２として、それぞれの場合を考えていきます。条件２より、米国産の肉は隣り合わないため、それぞれのケースにおいて米国産肉の配置が確定し、以下のようになります。（参考図２）。

すると、空白部分はどちらも豪州産牛肉です。

以上をふまえ、各選択肢を検討します。選択肢を再掲すると、以下です。

1．豚肉が盛られた二つの区画どうしは隣り合っていなかった。
2．米国産牛肉が盛られた区画は、豪州産牛肉が盛られた区画と隣り合っていた。
3．国産豚肉と豪州産牛肉は隣り合っていなかった。
4．牛肉が盛られた区画は三つあった。
5．牛肉が盛られた区画のうちの一つは、牛肉が盛られた他の三つの区画と隣り合っていた。

選択肢 1 ですが
国産豚と米国豚が必ず隣り合います。選択肢 1 は誤りです。

選択肢 2 は妥当です。
豪州産牛が候補のどちらであろうと、米国産牛と隣り合います。

選択肢 3 ですが
国産豚は真ん中なので、必ず隣り合います。選択肢 3 は誤りです。

選択肢 4 ですが
牛肉が盛られた区画は４つです。選択肢 4 は誤りです。

選択肢 5 ですが
どの牛肉区画も、牛肉２つとしか接していません。選択肢 5 は誤りです。

以上より、正解は 2 です。

 Ａ～Ｄの 4 人は、国語、数学、英語の 3 教科について、教科ごとに 1 点刻みで 10 点満点のテストを受けた。その点数と順位について次のことが分かっているとき、確実にいえることとして最も妥当なのはどれか。

○　平均点は、国語が 6 点、数学が 5 点、英語が 4 点であった。

○　各教科において、他の者の点及びその教科の平均点と同点の者はおらず、また、全ての教科において、 3 点の者と 7 点の者がそれぞれいた。

○　Ａ の点数は、国語が 3 点、数学が 4 点、英語が 7 点であった。

○　Ｂ の順位は、国語で 2 位、数学で 2 位、英語で 3 位であった。

○　各教科の Ｃ と Ｄ の点数の差は、いずれも 4 点であり、国語と英語では Ｃ が上位、数学では Ｄ が上位であった。

1． 3 教科の合計点では、Ａ は 4 位であった。
2． 3 教科の合計点では、Ｂ は 3 位であった。
3． 3 教科の合計点では、Ｃ は 1 位であった。
4． 3 教科の合計点では、Ｄ は 2 位であった。
5．いずれかの教科で 5 点を取った者の人数は、 1 人だけであった。

　解 説　　　　　

属性として、点数が対応する「人ー属性」対応の問題です。対応表を考えます。平均点が与えられているため、各科目の合計点についてもまとめておきます。また、以降箇条書きの条件について、上から条件１、条件２、条件３、条件４、条件５と書きます。

※ 各教科、同点なし、平均点と同点もなし・・・条件２
※ 全教科　３点、７点がいる・・・条件２

・合計点が最も低い英語にまず注目します。
B,C,D のうち、誰かが３点です。そして、条件５より「C と D の点差が４点」です。従って、C と D は３点ではありません。なぜなら、どちらかが３点だと、もう１方が７点になり、同点なしと矛盾するからです。つまり、英語３点は、 B です。

英語の合計が 16 点なので、C,D の合計は「16 ー(7 + 3) = ６」点です。合わせて６点で、差が４点なら、１点と５点の組み合わせとわかります。英語では C が上位（条件５）より、C：英語５点、D：英語１点が確定します。表に追加すると、以下のようになります。

※ 各教科、同点なし、平均点と同点もなし・・・条件２
※ 全教科　３点、７点がいる・・・条件２

・次に、数学に注目します。

点数の組み合わせは、合計２０点で、３点と７点がいる（条件２）ため、もう１人の数学の得点は、「20 – (4+3+7) = ６」点です。

「３点、６点、７点」点数の差が４点となる組み合わせは「３点と７点」しかありません。従って、この２つが C,D の数学の点数です。残った６点が、B の数学の点数です。C,D について、数学では D が上位（条件５）ということもふまえれば、数学の点数は「B：数学６点、C：３点、D：7 点」と確定します。表に追加すると、以下のようになります。

※ 各教科、同点なし、平均点と同点もなし・・・条件２
※ 全教科　３点、７点がいる・・・条件２

・最後に国語に注目します。

B,C,D のうち、誰か１人が７点です。残り２人の合計点が１４点です。４点差となる C,D のうち１人がもし７点だと、もう１人が３点となりますが、合計２４点が無理になります。そのため、７点が B です。

合わせて１４点、差が４点なら、５点、９点の組み合わせしかありません。順位を踏まえれば、C：９点、D：５点です。これで表が全て埋まりました。各人の合計点もまとめると、以下のようになります。

以上をふまえ、各選択肢を検討します。

1． 3 教科の合計点では、Ａ は 4 位であった。
2． 3 教科の合計点では、Ｂ は 3 位であった。
3． 3 教科の合計点では、Ｃ は 1 位であった。
4． 3 教科の合計点では、Ｄ は 2 位であった。
5．いずれかの教科で 5 点を取った者の人数は、 1 人だけであった。
（↑選択肢　再掲）

選択肢 1 ですが
A は３位です。選択肢 1 は誤りです。

選択肢 2 ですが
B は 2 位です。選択肢 2 は誤りです。

選択肢 3 は妥当です。

選択肢 4 ですが
D は４位です。選択肢 4 は誤りです。

選択肢 5 ですが
C,Dの２人です。選択肢 5 は誤りです。

以上より、正解は 3 です。

 1 ～ 7 の互いに異なる数字が一つずつ書かれた 7 枚のカードがある。これらのカードのうち、 6 枚をＡ、Ｂの 2 人に 3 枚ずつ配ったところ、Ａに 6 のカードが配られ、ＡとＢに配られたカードの数字の和は等しかった。さらに、ＡとＢがカードを 1 枚交換したところ、Ａが持っているカードの数字の和は、Ｂが持っているカードの数字の和の 3 倍となった。このとき、配られなかったカード 1 枚と、交換したカード 2 枚の、合計 3 枚のカードに書かれた数字の和はいくらか。

1． 9
2． 10
3． 11
4． 12
5． 13

　解 説　　　　　

具体的に考え、カード交換後の条件がとても厳しいとわかるかどうかで解く時間が大きく左右される問題と思われます。

７枚のカードの合計は、１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＝２８です。７枚のうち１枚を除き A,B に３枚ずつカードが配られるので、A と B のカードの数値を合計すれば、最小２１（配られなかったカードが７の場合）、最大２７（配られなかったカードが１の場合）です。（参考図１）。

A,B が１枚ずつカード交換を行った後に「A のカード合計が、B のカード合計の３倍」となります。そのため、A,B の全ての数字を足せば、B のカード合計の４倍です。言い換えれば４の倍数です。

２１～２７の中で４の倍数は２４のみです。つまり、カード交換後、B のカードの合計は６です。A のカードの合計は１８です。配られなかったカードは４です。

カード合計６となる組み合わせは「１，２，３」です。同様にカード合計１８となる組み合わせは「５，６，７」です。

交換後が分かったので、交換前を考えれば、交換したカードは１と７です。交換前は A「１，５，６（合計１２）」、B 「２，３，７（合計１２）」だったとわかります。

求めたい「配られなかったカード 1 枚と、交換したカード 2 枚の和」は「４＋（１＋７）」なので、１２です。

以上より、正解は 4 です。

図のように、半径 3 の円筒Ａと半径 1 の円筒 Ｂ が接しており、Ｂ は固定された円筒 Ｃ の内側と接している。Ａ が中心軸を中心に回転すると、Ｂ は Ａ と Ｃ に対して滑ることなく回転する。

はじめに Ｃ と接していた Ｂ 上の点 Ｐ が描く軌跡（太線）として最も妥当なのは次のうちではどれか。ただし、Ａ と Ｃ の中心軸は同一であり、Ａ と Ｂ の中心軸は平行であるものとする。

　解 説　　　　　

軌跡なので、選択肢の消去法で考えます。

外側の円 及び 内側の円に接している点の個数が　選択肢 1,4 は４つ、選択肢 2,3 は 5 つ、選択肢 5 は 6 つです。選択肢 1,4 について下図参考。他の選択肢も同様です。

回転する B の円周は、半径が１ → 直径が２ → 円周が２π です。また、外側の円筒 C の円周は同様に考えると 半径が５ → 直径が１０ → 円周が１０πです。

１０π ÷ ２π＝５なので、B は元の場所に戻ってくるまでに５周します。したがって、外側 及び 内側の円に接する点の個数は５個と考えられます。選択肢 2,3 が正解の候補です。

後は１点に注目して、少しだけ動かしてみると判断しやすいかと思われます。選択肢 2,3 の大きな違いとして、内側の円筒と接している部分付近でくるりんと巻いているかどうかに注目します。このように、直前でくるりんと巻いたりしません。

ちなみに、この点の軌跡は「ハイポサイクロイド」です。動画などで動き方を見ておくと、同様の問題でイメージがわきやすいと思います。（参考　wiki の「Hypocycloid」の項目へのリンク）。

以上より、正解は 2 です。

全面が白又は青のいずれか一色で塗られた同じ大きさの立方体が、合わせて 30 個ある。これらの立方体を、接する面どうしの色が異なるように積み上げ、図のような立体を作った。Ａ の立方体の色が青であるとき、白の立方体の個数から青の立方体の個数を引いた数はいくらか。

1． 0
2． 1
3． 2
4． 3
5． 4

　解 説　　　　　

一列分ずつ見て決めていけばよいです。一番左端の列には立方体が４つあり、テトリミノの L 型の形で積まれています。A が青とのことなので、青→白→青→白です。参考図１参照。

次の列では、A と接している立方体は白となり、そこから全ての立方体の色が確定します。後は順に一列ごと見ていき、もれやずれがないよう、気をつけることができるかどうかがポイントになります。

数えると、青１４、白１６です。１６－１４＝２ となります。※選択肢の番号は３であることに注意しましょう！

以上より、正解は 3 です。

1 ～ 6 の異なる数字が各面に一つずつ書かれた立方体のサイコロが 2 個ある。この 2
個のサイコロを同時に投げて、出た目の数の和が 3 の倍数になる確率はいくらか。

　解 説　　　　　

２個のサイコロなので、表を書き、全通りについて考えます。和が３の倍数になる部分を赤で示しています。全部で３６通りで、赤い部分が １２通りです。

12/36 = 1/3 となります。

以上より、正解は 4 です。

Ａ、Ｂ、Ｃは、 3 人合わせて 345 万円の所持金を持っている。Ａは 12 ％、Ｂは 10 ％、Ｃは 8 ％ の年利率で全所持金を銀行に預けたところ、 1 年後に、Ａの利息とＢの利息とＣの利息の比は、 3 ： 2 ： 1 となった。このとき、Ａ、Ｂ、Ｃが受け取った利息の合計はいくらか。ただし、利息に係る税金は無視するものとする。

1． 30 万円
2． 32 万円
3． 34 万円
4． 36 万円
5． 38 万円

　解 説　　　　　

【解き方１：概算による評価】
桁数「万円」における、受け取った利息の合計についての概算をすればいいと選択肢から読み取れます。すると、所持金のうち５万円の利息はせいぜい 5000 円程度なので、所持金合計を 340 万円とみなします。

受け取った利息の比率が A : B : C = 3 : 2 : 1 であった、ということなので、A の受け取った利息と B,C 合計利息が同じ額です。

・極端な場合として「利率が 10% ときりがいい B の所持金が 、全額の 340 万円」だった場合を考えてみます。すると、340 万円の 10% → 34 万円が利息です。本問では、受け取った利息合計のうち半分を、年利率が B よりも高い A が受け取っています。そうであれば、受け取った利息の合計は 34 万円よりは多いと推測されます。・・・（１）

・次に、利息の比率をふまえ「A と B,C の所持金が等しかった場合」を仮定して、概算してみます。つまり、A が 170 万、B,C が合計 170 万貯金したと仮定して概算します。すると、A の利息は 170 万 × 0.12 = 20.4 万円、残りの所持金は 全て B のもので、B の貯金が 170 万だったとしても 受け取る利息は 17 万円です。20.4 + 17 = 37.4 万円の利息を、この場合は受け取ります。

実際には、受け取った利息の比率が A : B : C = 3 : 2 : 1 です。言い換えると、A の受け取った利息と B,C 合計利息が同じ額です。そうであれば、 A が 170 万円よりも少なめに貯金しており、受け取り利息の合計は、もう少し減少する、つまり 37.4 万円よりは少ないと推測できます。・・・（２）

（１）、（２）より、受け取った利息合計は、34 万より多く、37.4 万円より小さいので、正解は 36 万円です。

以上より、正解は 4 です。

【オススメ！　解き方２：選択肢から逆算】

選択肢 1 が正解とします。

受け取った合計利息 30 万、受け取った利息の比率が A : B : C = 3 : 2 : 1　であれば、A が 15 万、B が 10 万、C が５万受け取っています。であれば、所持金を逆算（式はそれぞれ：15 ÷ 0.12、10 ÷ 0.10、5 ÷ 0.08）すれば、各人の所持金は A が 125 万、B が 100 万、C が 62.5 万です。３人合わせた所持金合計が 345 万になりません。選択肢 1 は誤りです。

以下、同様に、各選択肢を検討することで、選択肢 4 が正解です。

受け取った合計利息 36 万
→ 各人受け取り利息：A 18 万、B 12 万、C 6 万
→ 各人の所持金：A 150 万、B 120 万、C 75 万円　合計 345 万円　となります。

 n は 5 で割ると 3 余る正の整数、m は 5 で割ると 2 余る正の整数である。このとき、n¹¹ + m¹¹ を 5 で割ったときの余りはいくらか。

1． 0
2． 1
3． 2
4． 3
5． 4

　解 説　　　　　

【具体的に考える　１】

n の例として３、m の例として２があげられます。3⁵ = 243、3⁶ = 729 です。3¹¹ = 3⁵ × 3⁶ であり、５で割った時の余りを考えるためには、結局１の位がわかればよいです。1 の位に注目すれば、3 × 9 = 27 なので、3¹¹ の１の位は７とわかります。５で割った余りは２です。

また、2¹⁰ = 1024 なので、2¹¹ = 1024 × 2 = 2048 です。2048 を５で割った余りは３です。

それぞれ５で割った余りが２，３なので、たせば５なので、結局余り０です。

以上より、正解は 1 です。

↓個人的には一番推奨！
【具体的に考える　２　ー規則性に注目ー】

2¹ + 3¹ であれば、５で割ると余り０
2² + 3² であれば、５で割ると余り３
2³ + 3³ であれば、５で割ると余り０
2⁴ + 3⁴ であれば、５で割ると余り２
2⁵ + 3⁵ であれば、５で割ると余り０

あたりまで具体的に計算することで、指数部分が奇数の時は、余りが０という規則性に注目してもよいと思われます。

参考

たまに参考書とかにあり
公務員試験の勉強としては全くおすすめしない、二項定理による解き方　

n = 5k + 3、m = 5l + 2 とする。二項定理より

・n¹¹ = (5k + 3)¹¹ → 5 ×（・・・）＋3¹¹
・m¹¹ = (5l + 2)¹¹ → 5 ×（・・・）＋2¹¹ と

５の因数とそれ以外に分けることができる。結局、3¹¹ + 2¹¹ について考えればよい。

さらに、３＝５－２として

（５－２）¹¹ + 2¹¹ と見れば、（５－２）11 → 5 ×（・・・）＋（－２）¹¹ + 2¹¹  と表せる。（－２）¹¹＋２¹¹＝０となるため、５で割った余りは０とわかる。という流れです。

繰り返しますが、公務員試験において「二項定理を使う」という手法は、数学めちゃくちゃ得意でたまらない人以外に全く推奨しません。