10 進数の演算式 2¹ × 2² × 2³ × … × 2^n-1 × 2ⁿ の結果を 16 進数に変換したときに、8 桁以上となるような最小の自然数 n はいくらか。

1． 5
2． 6
3． 7
4． 8
5． 9

　解 説　　　　　

本問を解くために必要な知識は 3 つです。

１：指数法則　a^b × a^c = a^b+c
２：等差数列の和の公式 Sn = (初項 + 末項) × n/2
３：n 進数について　1 桁目 n⁰ が何個、２桁目が n¹ が何個… と読む

まず、10 進数の演算式 2¹ × 2² × … 2ⁿ
= 2^(1+2+…+n)
= 2^{n(n+1)/2} です。

次に選択肢について、具体的に考えます。

n = 5 の時
2¹⁵ = 2³ × 16³ と表せます。これは 16 進数で 8000 (16 進数) です。つまり、16 進数だと 4 桁です。 8 桁以上にはなりません。

n = 6 の時
2²¹ = 2 × 16⁵ です。これは 16 進数で 200000 (16 進数) と表せます。つまり、16 進数だと 6 桁です。 8 桁以上にはなりません。

n = 7 の時
2²⁸ = 1 × 16⁷ です。これは 16 進数で 10000000 (16 進数) です。 8 桁となったので、正解は n = 7 とわかります。

以上より、正解は 3 です。

　解 説　　　　　

行列 A を

とする。A³ の行列式はいくらか。

1．-2
2．-1
3．0
4．1
5．2

　解 説　　　　　

【行列式の公式】

A²、A³ について計算すると、以下のようになります。

A³ について、行列式の公式で計算するというのが 1 つの解法です。少し数値が大きく煩雑です。※計算はできて欲しい
ーーー
別解：行列式の性質として |AB| = |A||B| があります。
|A³| = |A| |A| |A| です。

3 次の行列式公式より
|A| = 2 + 0 + 0 － (0 + 0 +3) = -1 です。

|A³| = |A|³ = (-1)³ = -1 とわかります。

以上より、正解は 2 です。

ただし、i を虚数単位とする。

1． 2
2． 3
3． 4
4． 5
5． 6

　解 説　　　　　

Z = (√3 + i)/2 とおきます。
複素数 Z を複素数平面で表すと以下のようになります。

Z を極形式で表せば、r = 1、θ = 30° なので
Z = cos30° + i sin30° です。

ド・モアブルの定理より
Zⁿ = cos 30n ° + isin 30n ° です。

実数であるということは、i の係数 sin 30n ° = 0 です。n = 6 の時が最小です。この時 Z⁶ = -1 となります。

以上より、正解は 5 です。 

a、b を 1 以上 5 以下の整数とする。x についての 2 次方程式 x² + ax + b = 0 が整数解をもつような組 (a，b) はいくつあるか。

1． 2 組
2． 3 組
3． 4 組
4． 5 組
5． 6 組

　解 説　　　　　

【解と係数の関係】
方程式の解 2 つを α、β とおきます。x² + ax + b = (x － α)(x － β) と因数分解できます。解と係数の関係より、－(α + β) = a、αβ = b です。

【解 α、β が 2 つとも整数であることの確認】
解 α だけが整数で、解 β は整数ではなかったとします。b が整数なので、αβ = b となる場合、β = b/α (α と b は約分できない) と表せます。ところがそうすると、α + β = α + b/α となります。これは分数です。「a が整数」という条件と矛盾します。

従って
解は 2 つとも整数です。

【2 つの整数解として、解と係数の関係を考える】
整数解 2 つを Z₁、Z₂ とおきます。
x² + ax + b = (x － Z₁)(x － Z₂) と変形できます。

解と係数の関係より
－(Z₁ + Z₂) = a  ※a は符号が正 → Z₁ + Z₂ < 0・・・(1)
Z₁Z₂  = b です。

【b について具体的に検討】
b = 1 の場合を考えます。
Z₁Z₂  = 1 → 『Z₁ = 1、Z₂ = 1』or 『Z₁ = -1、Z₂ = -1』です。
(1) より Z₁ = -1、Z₂ = -1 です。すると、(a,b) = (2,1) です。

以下、同様に b = 2 の場合
Z₁ = -1、Z₂ = -2 です。(逆でも OK.) 　すると、(a,b) = (3,2)

b = 3 の場合
Z₁ = -1、Z₂ = -3 です。(逆でも OK.)　すると、(a,b) = (4,3) 

b = 4 の場合
Z₁ = -1、Z₂ = -4 (逆でも OK.)、Z₁ = -2、Z₂ = -2  すると、(a,b) = (5,4)、(4,4)

b = 5 の場合
Z₁ = -1、Z₂ = -5 (逆でも OK.)ですが、a = 6 になってしまうため、不適切です。

従って
(a,b) の組は「５通り」です。※選択肢は「4」になる点に気をつけましょう！

以上より、正解は 4 です。

等比数列 {a_n} (n = 1,2,⋯) について

　解 説　　　　　

【等比数列の基本】
等比数列は、同じ数をかけていってできる数列です。
初項を a₁、公比を r、n 番目の項を a_n、1 項目から n 項目までの和を S_n とおくと
・a_n = a₁ × r^n-1
・S_n = a(rⁿ – 1)/(r – 1)　です。

a₆ = a₁ × r⁵ です。
従って、求めたい a₆/a₁ = r⁵ です。

Σ を展開すると
a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ = √3 － 1・・・(1)
a₆ + a₇ + a₈ + a₉ + a₁₀ = √3 + 1・・・(2) と表せます。

ここで (1) の両辺に r⁵ をかけると
a₁ × r⁵ = a₆、a₂ × r⁵ = a₇ … であるため
左辺：r⁵ × (a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅)
= a₆ + a₇ + a₈ + a₉ + a₁₀ となります。(2) より、これは √3 + 1 です。

つまり、 (1) の両辺 に r⁵ をかけることで
r⁵ × (a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅) = r⁵ × (√3 － 1)　とすると (2) より
(√3 + 1) = r⁵ × (√3 － 1) ・・・(3) と表せます。

(3) を r⁵ について解けば
r⁵ = (√3 + 1)/(√3 － 1) です。

(√3 + 1)/(√3 － 1) の分母を有理化して整理すれば
2 + √3 です。

以上より、正解は 5 です。

次の記述のうち、スイッチングハブ (レイヤ 2 スイッチ) の機能の説明として最も妥当なのはどれか。

1．MAC アドレスを解析することによって、LAN ポート間でデータの転送を行う。

2．LAN ポートに接続された端末に対して、IP アドレスの動的な割当てを行う。

3．LAN で利用するプライベート IP アドレスと、グローバル IP アドレスとを 1 対 1 で相互に変換する。

4．OSI 基本参照モデルのネットワーク層での中継処理を行い、LAN とLAN を接続する。

5．OSI 基本参照モデルの物理層において、LAN を延長する。

　解 説　　　　　

【OSI 参照モデルの基礎知識】
ネットワークアーキテクチャの国際的な標準化モデルを、OSI 参照モデルといいます。OSI 参照モデルは、物理層からアプリケーション層まで 7 つの階層から構成されます。

7 つの階層は上から、アプリケーション層、プレゼンテーション層、セッション層、トランスポート層、ネットワーク層、データリンク層、物理層です。「レイヤー」は OSI 参照モデルの「層」と対応します。

選択肢 1 は妥当です。
スイッチングハブの機能に関する記述です。MAC は「Media Access Control」の略です。LAN カードなどに一意に割り当てられています。

選択肢 2 ですが
DHCP：Dynamic Host Configuration Protocol が提供する機能に関する記述です。「IP アドレスの動的な割当て」と来たら思い出せるとよいです。スイッチングハブの機能ではありません。選択肢 2 は誤りです。

選択肢 3 ですが
NAT：Network Address Translation が提供する機能に関する記述です。プライベート IP アドレスと グローバル IP アドレス を 1 対 1 で変換する技術です。スイッチングハブの機能ではありません。選択肢 3 は誤りです。

選択肢 4 ですが
ネットワーク層で LAN 間 の接続と来たら、ルーターが提供する機能に関する記述です。スイッチングハブの機能ではありません。選択肢 4 は誤りです。

選択肢 5 ですが
LAN において伝送距離を延長するため、伝送路の途中でデータの信号波形を増幅・整形し、物理層での中継を行う装置はリピーターです。スイッチングハブの機能ではありません。選択肢 5 は誤りです。

以上より、正解は 1 です。

0,1 の出現確率がそれぞれ 90 ％、10 ％ である長さ n のビット列がある。ビット列の先頭から 2 ビットずつに区切った後、表に示す変換を行う。変換後のビット列の長さの期待値を n で割った値はおよそいくらか。ただし、n は正の偶数とする。

1． 0.58
2． 0.65
3． 0.75
4． 0.81
5． 1.1

　解 説　　　　　

具体的ビット列で考えることから始めるとよいと思われます。
例えば 『0001』 というビット列を考えます。

0001 を先頭から 2 ビットずつ区切れば「00」「01」となります。表に従って変換すれば 00 → 0、01 → 10 となるので、変換後のビット列は 010 です。変換後のビット列の長さは 3 なので、元のビット列の長さ 4 で割ると 3/4 となります。

2 ビットずつ区切った時に「00」 なのか 「01」 なのか 「10」 なのか 「11」 なのかというのは、確率で表すことができます。

00 となる確率は 0.9 × 0.9 = 0.81 です。
この確率で 変換後 1 文字になります。

01 となる確率は 0.9 × 0.1 = 0.09 です。
この確率で 変換後 2 文字になります。

10 となる確率は 0.1 × 0.9 = 0.09 です。
この確率で 変換後 3 文字になります。

11 となる確率は 0.1 × 0.1 = 0.01 です。
この確率で 変換後 3 文字になります。

従って
2 ビットずつの各区切りについて、変換後のビット列長さの期待値は
(0.81 × 1) + (0.09 × 2) + (0.09 × 3) + (0.01 × 3) = 1.29 文字です。 

2 文字 → 1.29 文字になる変換とわかりました。
1.29 ÷ 2 ≒ 0.65 です。

以上より、正解は 2 です。

k 人が相互に暗号を使って通信する場合を考える。共通鍵暗号方式を用いた場合に必要な異なる鍵の総数を M、公開鍵暗号方式を用いた場合に必要な異なる鍵の総数を N とする。M/N が 6 以上となるような最小の k はいくらか。ただし、公開鍵暗号方式では、公開鍵と秘密鍵をそれぞれ一つと数えるものとする。

1． 20
2． 25
3． 30
4． 35
5． 40

　解 説　　　　　

小さな人数で具体的に考えるとよいです。共通鍵暗号方式では、通信する 2 者間ごとに 1 つ共通鍵が必要になります。公開鍵暗号方式では、各通信者ごとに公開鍵と秘密鍵が 1 つずつ必要です。

【k = 2 の場合：Alice と Bob】
共通鍵暗号方式の場合
Alice と Bob の間に 1 つの共通鍵があれば、それで暗号化と復号化をすることで通信できます。

公開鍵暗号方式の場合
Alice の公開鍵と秘密鍵、Bob の公開鍵と秘密鍵 が必要です。つまり、全部で 4 つ必要です。

【k = 3 の場合：Alice と Bob と Carol】
共通鍵暗号方式の場合
Alice と Bob、Alice と Carol、Bob とCarol の間にそれぞれ共通鍵が必要です。つまり、全部で 3 つ必要です。

公開鍵暗号方式の場合
Alice の公開鍵と秘密鍵、Bob の公開鍵と秘密鍵、Carol の公開鍵と秘密鍵が必要です。つまり、全部で 6 つ必要です。

一般的に考えると k 人に対し
共通鍵暗号方式では _kC₂ = k(k-1)/2 個
公開鍵暗号方式では 2k 個の鍵が必要です。

従って
M/N = {k(k-1)/2}/2k = (k-1)/4 です。

(k-1)/4 ≧ 6 となるのは、k ≧ 25 です。
最小の k は 25 とわかります。

以上より、正解は 2 です。 

　解 説　　　　　

具体的に選択肢 1 の a = 2 でチャートを読んでいきます。

(k,n,i,m) = (2,0,1,100)
(k,n,i,m,p) = (2,0,1,100,3) [3/2] → 1 なので n、[3/3] → 1 なので y
(k,n,i,m,p) = (2,1,2,100,3) 2 ≦ 100 なので y 
(k,n,i,m,p) = (2,1,2,100,5) [5/2] → 2 なので n、[5/3] → 1 なので n
(k,n,i,m,p) = (2,1,3,100,5) 3 ≦ 100 なので y
(k,n,i,m,p) = (2,1,3,100,7) [7/2] → 3 なので n、[7/3] → 2 なので n
・
・
・
と進んでいきます。

チャートは以降
i が 1 ずつ増えていき i が 101 になるまでぐるぐる回ります。

p：2 × i + 1 が 「2 で割れきれる」or 「3 で割れきれる」場合に  n の値が 1 増えます。ここで「2 × i + 1」 は必ず奇数です。2 で割り切れることはありません。

従って
p = 3,9,15… の時に n が 1 増えます。これは i = 1,4,7,… に対応します。

i は 101 までぐるぐる回るので
i = 1,4,7,…,100 の時、計 34 回 n が増えます。つまり、最後に n = 34 が出力されます。以上が a = 2 の場合です。

もしも a の値が 奇数であれば、i が奇数の時に「奇数 × i (奇数) + 1」が偶数になります。すると i が 1,3,5,,,99 で必ず n が増えることから、n が 50 よりも大きくなります。

従って
最も小さい数値を印刷する a は、選択肢の中であれば 唯一偶数である「2」です。

以上より、正解は 1 です。