x に関する方程式 x³= 1 の虚数解の一つを ω とすると
(1 +ω²)²（1 +ω²）+（1 + ω²)(1 + ω)² の値はいくらか。

1.　2
2.　1
3.　0
4．-1
5．-2

　解 説　　　　　

ω は、x³ = 1 の解の１つなので、ω³ = 1 です。また ω³ – 1 = 0 ↔（ω – 1）(ω² + ω + 1) = 0 と左辺を因数分解できます。ω は虚数なので、ω は 1 ではありません。従って、ω² + ω + 1 = 0 です。まず「x³ = 1 の虚数解の 一つが ω」ということから、ω³ = 1、ω² + ω + 1 = 0 という情報を読み取ります。

次に、与えられた式ですが、共通因数があるので、とりあえず因数分解して積の形にしてみます。

上のように消えていって、結局 ω³ = 1 です。

以上より、正解は 2 です。

xyz 空間において、 4 点（2、3、1）、（3、1、-2）、（2、-1、-3）、（-1、1、a）が同一平面上にあるときのa の値はいくらか。

1.　2
2.　1
3.　0
4.　-1
5.　-2

　解 説　　　　　

４点を順に A,B,C,D とおきます。A を基点として、AB,AC,AD ベクトルを計算すると以下のようになります。

D が同一平面上にあるためには

が成立すればよいです。※これは知識！『同一平面上にある条件』です。※※ちなみに、k , l ≧ 0 かつ k + l = 1 ならば、点 D は 線分 BC 上です。

右辺を計算すると (k、-2k-4l、-3k-4l) です。AD ベクトルと比較すれば、まず k = -3 とわかります。そして l = 2 です。Z 座標が 1 なので、a -1 = 1 です。∴ a = 2 とわかります。

以上より、正解は 1 です。

の値として正しいのはどれか。ただし，n は正の整数とする。

　解 説　　　　　

n = 1 の場合を考えます。２つの解法をあげます。馴染みやすい方を優先して身につけるとよいと思います。

【解法１　定積分】
sin を積分したら -cos、cos を積分したら sin です。これは基礎知識です。θ = 0°、π（180°） の時の｜√3sinθーcos θ｜ の値は、共に１です。 ｜√3sinθーcos θ｜ の値がちょうど 0 になるのは、有名角を考えれば θ = 30°（= π/6）とわかります。具体的な点をつなぐことで、グラフの概形は以下のようになります。

θ = 0~π/6 と、 θ = π/6 ~ π までに分けて積分します。

両方合わせて（２ー√３）＋（２＋√３）= ４です。正解は 5 です。

【解法２　合成】
三角関数の合成より、√3sinθーcosθ = 2sin(θ-30°)です。sin の一山が 2 なので、2 倍して 4 です。

以上より、正解は 5 です。

二つの検査 A,B を行うとき、検査 A で合格となる確率が 16%、検査 B で合格となる確率が 50%、検査 A で合格かつ検査 B で不合格となる確率が 1% であるとする。このとき、検査 B で合格かつ検査 A で不合格となる確率はいくらか。

1. 33%
2. 34%
3. 35%
4. 42%
5. 49%

　解 説　　　　　

ベン図でまとめてみます。また、検査を行う対象がちょうど１００個あるとします。

よって、検査 B で合格かつ検査 A で不合格の部分は「５０－１５＝３５」です。

以上より、正解は 3 です。

図のフローチャートにおいて、入力 a がとり得る値を、12、30、42、54、72 とするとき、出力 p の最大値はいくらか。

1． 3
2． 5
3． 7
4． 9
5． 11

　解 説　　　　　

a = 12 の場合でチャートを読んでみると
(a,p)=(12,1)n
(a,p)=(12,2)y
(a,p)=(6,2)y
(a,p)=(3,2)nn
(a,p)=(3,3)y
(a,p)=(1,3)y →出力は 3 となります。

出力 p は、2,3,,, と a を割り切れる素数の中で最大の数とわかります。

30 = 2 × 3 × 5
42 = 2 × 3 × 7
54 = 2 × 3³
72 = 2³ × 3²
なので、最大値は 7 です。

以上より、正解は 3 です。

図のように，直径 d の半円筒面 AB を含む滑らかな曲面が，水平面に固定されている。曲面上の十分高い位置から小球 P を静かに放すと，小球 P は曲面を滑り落ちた後に半円筒面 AB で円軌道を描いて点 A から飛び出す。いま，小球 P が点 A から飛び出すような，最小の高さにある点 C から小球 P を静かに放した。このとき，点A における小球 P の速さとして最も妥当なのはどれか。ただし，重力加速度の大きさを g とする。

　解 説　　　　　

「円軌道を描いて飛び出す」ため、飛び出す瞬間まで円運動をしていなければいけない　という点がポイントです。

なんとなく、高さ d からボールを転がせば、B 点で 位置エネルギーが全て運動エネルギーになり、また A 点で運動エネルギーが全て位置エネルギーになればよいような気がするのではないでしょうか。しかしそれでは A 点に到達して、v = 0 だから、後は真下に落っこちるだけです。滑り台のラストを思い出すとイメージしやすいのではないかと思うのですが、勢いのままシュッと飛び出すような速度が必要となります。

まず「小球 P が点 A から飛び出すような最小の高さ」について考えます。点A,B での速度を V_A,V_B とおけば、力学的エネルギー保存則より、m(V_B)²/2 = mgd + m(V_A)²/2 です。

円運動をする場合「向心力」が働きます。向心力は質量と速さを用いて、mV²/(d/2) = 2mV²/d です。これは A 点においては『垂直抗力＋重力』です。A 点における垂直抗力を N_A とおけば、N_A + mg です。よって、2m(V_A)²/d = N_A + mg です。円運動するとは、N_A≧0 と解釈することができます。

以上より、 V_B ≧√5g(d/2) を導くことができます。 （この問題は d/2 = r として、「√5gr」 が、このパターンの最低限必要な速度ということを「基礎知識」として知っている前提の問題である気もします。余裕があればぜひ知識としておさえておきましょう！）

従って、最小値は V_B = √5g(d/2) です。つまり、V_B² = 5gd/2 です。従って、B 地点で 5mgd/4 の運動エネルギーを有します。この運動エネルギーを有するような最小の高さは 「5d/4」 です。

高さ 5d/4 からボールを離し、一回転して点 A にいる時、位置エネルギーが U_A = mgd なので、mgd/4 = mV_A²/2 が成立します。∴V_A² = gd/2 ∴V_A = √gd/2 です。

以上より、正解は 5 です。

光の回折と干渉に関する次の記述の ㋐、㋑、㋒ に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

「図のように、単スリット S₀、複スリット S₁、S₂、スクリーンを平行に置き、光源から S₀ に向けて波長 m の単色光を照射したところ、スクリーン上に明暗の縞模様（干渉縞）が観察された。

複スリットとスクリーン間の距離は L である。また、光源を通りスクリーンに垂直な直線を中心軸とすると、S₀ は中心軸上にあり、S₁ 及び S₂ は、中心軸から同じ距離 d/2 離れている。スクリーン上で中心軸から距離 x 離れた点を P とする。

d、x が L に比べて十分に小さいとき、距離 S₁P、S₂P の差の大きさは ㋐ と近似できることから、スクリーン上の隣り合う明線の間隔 Δx は ㋑ と表せる。この実験を、赤色光と青色光でそれぞれ行い比較すると、Δx は ㋒ を用いたときの方が大きい。」

　解 説　　　　　

㋐ですが
d が 0 に近づけば、S₁P、S₂P は０に近づくはずです。よって、分子に d があるべきです。１～３が正解です。

光路差が 波長の整数倍である時、強めあって明線です。中心軸とスクリーンの交点がまず 光路差 0 で強め合います。次に明るい所は 光路差 xd/L = λ なので、 x = Lλ/d です。

波長が大きいほうが ㋑ の値は大きいので、赤色光（より長波長光。λ大。）を用いた方が Δx が大きいです。 これで正解は 3 とわかります。

ちなみに、光路差の近似は三平方の定理により２つの光路差を計算した後、(1+h)ⁿ≒ 1+nh により、以下のように計算します。

以上より、正解は 3 です。

図Ⅰのように、小さな方位磁針を水平な床の上に置き、十分に長い導線を、磁針と平行に、かつ、磁針の真上を通るように張った。この導線に 6 A の電流を流したところ、図Ⅱのように、図Ⅰの状態から N 極が左に 60°振れた。

いま、この導線に流す電流を変えたところ、図 Ⅲ のように、図Ⅰの状態から N 極が右に 30°振れた。このときの電流の向きと大きさの組合せとして最も妥当なのはどれか。なお、直線電流がつくる磁界の強さは、電流の大きさに比例する。

　解 説　　　　　

電流を流さない時の方位磁針に働く力を上向きに F とします。電流により生じた磁界による力との合力が方位磁針の向きと考えられます。そして、流す電流の大きさと磁界の強さ（大きさ）は比例します。

図Ⅱにおいて、電流により生じる磁界の強さは √3F です。図Ⅲにおいて、電流により生じる磁界の強さは F/√３ です。割れば 3 なので、電流の大きさは 6A ÷ 3  = 2A です。

図Ⅱにおいて、電流を ① の方向に流せば、右ねじの法則より、電線の下に生じる磁界の向きは「←（左向き）」です。図Ⅲでは明らかに磁界の向きが逆になっているため、電流の向きも逆です。つまり、電流の向きは ② です。

以上より、正解は 5 です。

図のように，真空中で静止している電子に向けて波長 λi の X 線を入射させたところ，その入射方向に対して角度 θ の方向に波長 λs の X 線が散乱され，電子は角度 Φ の方向に跳ね飛ばされた。

プランク定数を h とするとき，跳ね飛ばされた電子の運動量の大きさとして最も妥当なのはどれか。なお，波長 λ の X 線の運動量の大きさ p は p = h/λ と表せる。

　解 説　　　　　

衝突前後の運動量が保存される点に注目します。

真横方向と、真縦方向に分けて考えます。また、電子の質量を m とおけば、求めたい電子の運動量は P とおきます。横方向について、衝突前後で h/λi = h/λs cosθ + PcosΦ・・・（１） が成り立ちます。また、縦方向について h/λs sin θ = PsinΦ・・・（２） が成り立ちます。求めたいのが P なので、（１）の右辺を Pcos Φのみにした上で、それぞれの式を２乗して足せば、√の中身は「ー」、「cosθ」となっているものが正解とわかります。

以上より、正解は 1 です。

図のように，目盛りを 1 か所付けた集気瓶を用いて，集気瓶内の水面の高さが，集気瓶の目盛り及び水槽内の水面と一致するまで，酸素を水上置換で捕集した。大気圧が P のとき，絶対温度 T₁，T₂ の条件下でこの捕集を行ったところ，捕集された酸素の質量は，それぞれ，w₁，w₂ であった。

T₁ における水の蒸気圧が P₁ のとき，T₂ における水の蒸気圧として最も妥当なのはどれか。ただし，室温と酸素及び水の温度は等しく，また，酸素は理想気体として振る舞うものとし，水に対する酸素の溶解度は無視できるものとする。

　解 説　　　　　

大気圧 P と、集気瓶内の気体の圧力が等しいと考えられます。集気瓶内の気体の圧力とは、水の蒸気圧＋酸素の圧力と考えられます。温度が T₁ なら P = P₁ + 酸素の圧力です。温度が T₂ なら P = P₂ + 酸素の圧力です。ここで T₁ = T₂ の場合を考えます。当然 P₁ = P₂ です。また、T₁ = T₂ とした時に w₁= w₂ です。選択肢を計算すると、それぞれ

１：2P + P₁
２：2P ー P₁
３：2P + P₁
４：P₁
５：ーP₁　です。P₂ = P₁ となるのは選択肢 4 のみです。

以上より、正解は 4 です。

ちなみに、一般的に解くと以下のようになります。
酸素の圧力を P_O2 とします。PV = nRT が成立します。よって P_O2 = nRT/V です。ここで、酸素の分子量を M とすれば、n = w/M です。P_O2 = wRT/MV と表すことができます。n,R,V,M については定数です。

温度が T₁,T₂ の時、それぞれ
P ー P₁ = w₁RT₁/MV ・・・（１）P ー P₂ = w₂RT₂/MV・・・（２）　と表すことができます。余計な文字を消して P₂ = ・・・の形にします。

以上より、正解は 4 です。