x ＞ 0、y ＞ 0、x ＋ y = 1 のとき、log₂x ＋ log₂y の最大値はいくらか。

1．－2
2．－1
3．0
4．1
5．2

　解 説　　　　　

【解法１：対数方程式として考える】
対数方程式の最大・最小問題としてとらえると、文字が２つなので
x + y = 1 ↔ y = 1 – x を利用して、１文字にします。

log₂x + log₂(1-x) = log₂x(1-x) です。ここで g(x) = x(1-x) とおけば、g’(x) = -2x+1 です。よって、x = 1/2 の時 g’(x)= 0です。この時が 最大と考えられます。x = 1/2 の時、y = 1/2 です。log₂x＋log₂y の値は －2となります。

以上より、正解は 1 です。
 
以下は、解法１がしっくり来ない人やあっさりと解ける人用です。色々な解き方を通じて選択肢を消すことができるツールを一つでも多く身につけてみてください！

【解法２　具体的に（色々）考える】
x＞0、y＞0、x＋y=1 なので、x も y も 0~1 の範囲です。y = log₂x のグラフの概形を思い出せば、x の所に 0~1 までしか入らないのであれば、log₂x の値は明らかに負です。

log₂x ＋ log₂y　は、どちらの項も絶対に負なので、正解は 1 or 2 となります。ぜひここまでは確実に選択肢をしぼってほしい問題です。

次に「log₂x＋log₂y = -1」 がなりたつかを検討します。成り立つ x,y があれば正解は 2 です。なければ正解は 1 となります。

log₂x + log₂y = log₂xy と表せます。従って、log₂x + log₂y = -1　がなりたつなら、log₂xy = -1 です。つまり xy = 1/2 です。x ＞ 0、y ＞ 0、x + y = 1 かつ xy = 1/2 が成り立つような x,y の組があるか　を考えます。

２－１【それぞれのグラフで考える】
個人的にはこれが一番わかりやすくて好きです。xy = 定数　という式は、反比例のグラフです。xy = 1/2 では、(1,1/2),(1/2,1) を通るのが明らかなので、以下のようなグラフになります。

明らかに 2 つのグラフは交わりません。つまり、２つの式を同時に満たす x,y の組はありません。よって、正解は 1 です。
 
２－２【解と係数の関係で考える】
解と係数の関係より、x+y = 1,xy = 1/2 を満たす x,y とは
「x² – x + 1/2 = 0」・・・（１） を満たす 2つの解 x₁,x₂ に他なりません。

（１）の判別式を考えると、D = 1 -2 = -1 < 0 なので、この式（１）は実数解を持ちません。よって、正解は 1 です。  

２－３【相加相乗で考える】
1/2 (x+y) ≧ √xy なので、√xy ≦ 1/2　→　xy ≦ 1/4  となります。従って、xy = 1/2 は無理です。よって、正解は 1 です。

図において、線分 AR,RC の長さはそれぞれ 3,2 である。また、線分 AQ は △ABC の頂点 A における外角の二等分線であり、線分 PC と線分 AQ は平行である。このとき、線分 AB の長さはいくらか。

1．7
2．8
3．10
4．12
5．15

　解 説　　　　　

※外角の二等分線の公式は不要。

△CPR と △AQR が、いわゆるちょうちょの関係で相似。相似比２：３です。したがって、PC：QA も２：３。

ここで図が明らかに変なんだけど、△APCに注目すると、AP=ACの二等辺三角形となります。理由は下図の通り。※青い○と赤い○は同じ角度

つまり、AP = AC = 5　です。

最後に、△BPC と △BAQ の、いわゆるとんがり帽子の相似に注目すれば
PC：QA = 2：３より、BP：BA が２：３です。ということは、BP：AP = 2：１とわかります。AP の長さは５とわかっているので、BP の長さが１０です。AB の長さは 「AP＋PB」なので、５＋１０で１５とわかります。

以上より、正解は 5 です。

微分方程式

の解として正しいのはどれか。ただし、x = 1 のとき y = e とする。

　解 説　　　　　

dy/dx というのは y’ と同じ意味です。解は選択肢 1 ~ 5 のどれかなので正解を仮定して考えます。微分するのが簡単なものから考えるとよいです。

まず、y = e^x（選択肢 2）が正解とします。y’ = e^x です。微分方程式に代入してみると
左辺 = e^x です。右辺 = (x+1)e^x/x です。左辺≠右辺です。選択肢 2 は誤りです。

他の選択肢はどれも、積の微分をしなければいけないので、その中でも一番係数が単純な選択肢 4 から考えます。

y = xe^x が正解とします。
y’ = x’e^x+x(e^x)’
=e^x + xe^x
=(x+1)e^xです。

微分方程式に代入してみると、左辺 = (x+1)e^xです。右辺 = (x+1)xe^x/x
= (x+1)e^x です。左辺=右辺です。

以上より、正解は 4 です。

五つの選択肢の中から、解答を一つ選ぶ問題が 40 題ある。Aさんは 20 題は完璧に解答できたが残りの問題は全然分からなかった。そのため、分からなかった問題については、無作為に一つの選択肢を選んで解答した。

完璧に解答できた 20 題については全て正答であったとすると、Aさんが全体で 25 題以上正答する確率を表す式として正しいのはどれか。ただし、各問題につき正答の選択肢は一つのみとする。

　解 説　　　　　

思いっきり今解いている公務員試験多肢試験についての問題ですね！本番で「何このメタな問題・・・」と話題になったのではないでしょうか。20 問確実に解けるってよく勉強してるなぁ。。。

本問は結局の所「ランダムに 5 択を 20 問解いて5/20 以上取れる確率を求めよ」という問題です。すると、5/20,6/20,7/20,,,20/20（！） までランダムで取れる可能性があるので、Σ を使って表されています。

ランダムに５問正解する　という場合を例に考えてみます。「○○○○○☓☓☓☓☓☓☓☓☓☓☓☓☓☓☓」なら 5 問正解です。この確率は、(⅕)⁵(⅘)¹⁵ と表せます。どの５問が偶然正解になるかという点に関して、「20問中５問の選び方」は「₂₀C₅」 です。従って「ランダムに５問正解する」確率は、₂₀C₅ (⅕)⁵(⅘)¹⁵ です。
（₂₀C₅ = 15504 なので、計算すると　大体 18% となります。）

以下
20問中 6 問なら、₂₀C₆ (⅕)⁶(⅘)¹⁴です。
20問中 k 問 (kは 5~20) なら、₂₀Ck (⅕)k(⅘)20-k です。k が５～２０までをすべて足せばよいので、Σ₂₀C_k (⅕)^k(⅘)^20-k（kは 5~20）です。

以上より、正解は 5 です。
 
ちなみに、２０問ランダムで解いて１問も当たらない確率は (⅘)²⁰ ですがこれって計算してみると約 1% なんですね。100人に解いてもらうと1 人ぐらい出るとなると、意外にあるんだな・・・と驚きました！

図Ⅰのように、整数が配列 A の 1 番目から N(N＞1) 番目の要素に、あらかじめ格納されている。k 番目の要素に格納されている整数を A(k) とする。

図Ⅱは、ある整数 X と同じ値が配列 A の何番目の要素に格納されているかを調べるフローチャートである。このフローチャートの実行結果に関する記述㋐～㋔のうち妥当なもののみを全て挙げているのはどれか。

㋐　Xと同じ値が配列中にある場合、N＋1が出力される。
㋑　Xと同じ値が配列中にない場合、1が出力される。
㋒　Xと同じ値が配列中にない場合、Nが出力される。
㋓　Xと同じ値が、配列の 1 番目と N 番目の 2 か所にある場合、1 が出力される。
㋔　Xと同じ値が、配列の 1 番目と N 番目の 2 か所にある場合、Nが出力される。

1．㋐
2．㋐、㋒、㋔
3．㋑、㋔
4．㋒、㋓
5．㋓

　解 説　　　　　

具体的な例を考えて、各記述を検討するとよいです。一例として、A(1) = 1,、A(2) = 2 とします。N = 2 です。

・記述 ア の検討のために、X は配列中にある値とします。X = 1 として、フローチャートを読みます。(k) = (1)ny → 出力は 1 です。N+1、つまり 3 ではありません。記述 ㋐ は誤りです。

・記述 イ、ウ の検討のために、X は、配列中に「ない」値とします。X = 3 として、フローチャートを読みます。

(k) = (1)nn
(k) = (2)nn
(k) = (3)y → 出力は 3。出力は 1 でも N(=2) でもありません。記述 ㋑、㋒ は誤りです。

従って、選択肢 1 ~4 は誤りです。

以上より、正解は 5 です。

自然長 L の、軽いばねの一端を天井に固定し、他端に小球をつるして静止させたところばねの長さは 3/2 Lになった。次に、同じ小球とばねを用いて、図のようにばねが常に鉛直線と角 θ をなすように、小球を水平面内で等速円運動させたとき、ばねの長さは 2L であった。このとき、小球の速さとして最も妥当なのはどれか。ただし、重力加速度の大きさを g とする。

　解 説　　　　　

等速円運動ときたので「F_遠心力=mrω²=mv²/r」を思い出します。

まず、小球の質量を m とおき下向きに mg の力がかかっているとします。次にばねについて考えます。ばねに普通に小球をつるして mg の力がかかると、自然長 L のばねが3/2 L になったとあります。つまり「mg で 1/2L 伸びて」います。今、ばねの長さは 2L で自然長に比べて L 伸びていることから「2mg の大きさ」だけ、ばね方向に力がかかっていることがわかります。以上より、力を書き込むと下図のようになります。

ばねの斜めの方向を、縦と横に分解して考えます。縦の力のつり合いを考えれば、ばね縦方向の力は mg です。すると横が √3mg で、辺の長さが １：２：√3 なので
「θ = 60°」とわかります。※ 問題文の図が全然違うので、図の見た感じとは一致しません。

また、これで等速円運動の半径は √3L とわかります。

横方向の力のつり合いに注目すれば
√3mg = mv²/√3L です。

m を消して両辺に√3かけると
3g = v²/L
∴ v² = 3gL
∴ v = √3gL

以上より、正解は 3 です。
 
類題 H27no6

右向きに速さ 5 m/sで進む、波長 5 mの正弦波がある。いま、図のように点 P が波とは正反対の向きに一定の速さ 5 m/sで動き始めるとき、動き始めてから 5 秒後までに点 P を通過する波の山の数はいくつか。

1．0
2．3
3．5
4．10
5．20

　解 説　　　　　

１秒後を考えると、わかりやすいと思われます。波長 とは、山から山　もしくは　谷から谷の長さです。Pに近い方の山から、山１、山２・・・と名前をつけたとします。１秒後は、以下の図のように表されます。

１秒後に Pは、山１、山２と「山を２個通過して、谷の場所にい」ます。すると、位置関係が１秒前と変わっていないため、次の１秒後には、山３、山４を通過し、また谷の場所にいると考えられます。５秒後には山を 10 個通過します。

以上より、正解は 4 です。

図のような回路において、4 Ω の抵抗で消費される電力を P₁ とし、回路全体で消費される電力を P₂ とすると、P₁/P₂ はおよそいくらか。

　解 説　　　　　

回路を見やすく簡単な形に直すと、以下のようになります。

電力 P = VI です。本問では、R の値が全てわかっているので、オームの法則 V = RI を用いて、P = RI² となおして考えます。※ V を 4Ω の抵抗について求めてP を求めても、もちろんかまいません。

回路を見ると、全体を流れる電流を I とすれば 4 Ω の抵抗を流れる電流も I です。よって、 全体の抵抗と 4 Ω の抵抗の比が、そのまま消費電力の比となります。

全体の抵抗は、以下のように 3 ステップで求めることができます。
１：まず直並列部分の、並列部分上側の直列部分を合成すると、１＋３=４Ωです。
２：並列部分を合成すると、2・4/(2+4) = 8/6 = 4/3 Ωです。
３：直列を合成すると、4+4/3 = 16/3 Ωです。

全体の抵抗がわかったので、比を考えると
４：16/3 = 12：16 = 3：４です。よって 3/4 が求める答えです。

以上より、正解は 4 です。

電気回路に関する次の記述の ㋐、㋑、㋒に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

「図Ⅰに示す質量 M の物体、ばね定数 k のばね、粘性減衰係数 μ のダンパからなるモデルの運動方程式と、図Ⅱに示す抵抗値 R の抵抗インダクタンス、 L のコイル、静電容量 C のコンデンサからなる RLC 回路の回路方程式とは、同じ形の微分方程式で表される。

物体、ばね、ダンパからなるモデルの運動方程式は、時刻をt、加える力をf(t)、変位を y(t) とすると、速度は y'(t) 、加速度は y”(t) であるから

と表せる。

一方、RLC 回路の回路方程式は、時刻を t、加える電圧を v(t)、コンデンサに蓄えられる電荷を q(t) として同様に考えると

と表せる。」

　解 説　　　　　

まず、抵抗 R に注目します。電圧降下は RI です。ここで類題より「I = dQ/dt」 と表されることを想起することが期待されていると考えられます。すると R と「q’(t)」 がセットと考えられるため、正解は 3~5 です。

さらにコンデンサの基本式 Q=CV より、V = Q/C です。よって、㋒ は 1/C と考えられます。

以上より、正解は 4 です。

ちなみにですが、コイルの電圧が、V = Ldi/dt と表されます。この i に dQ/dt を代入することで、q’’(t) と L がセットになります。
類題 H24no8

質量 m の気体分子が温度 T の下にあるとき、速さ v の分子の割合は、ボルツマン定数を k として

で示されるマクスウェル－ボルツマン分布に従う。ここで、F(v) は速さの分布関数といい

である。

また、気体分子の速さについては、平均速さ 及び 根平均 2 乗速さ それぞれ

で表される。

平均速さ 及び 根平均 2 乗速さを、T 及び気体のモル質量 M 、気体定数 R で表したものの組合せとして最も妥当なのはどれか。なお、必要であれば

を用いてよい。

　解 説　　　　　

選択肢を見ると、大体同じような式になっており、左側の √の 中身の何倍かが右側の式になっています。

詳しく見ると
選択肢 1 は　×　3/2
選択肢 2 は　× 2π/8
選択肢 3 は　× 3π/8
選択肢 4 は　× 2/3
選択肢 5 は　× 8/3π　です。

知識として、根平均二乗速さが一番大きくなることを覚えていれば、π ≒ 3 と近似して考えると、この時点で正解は 1 or 3 です。∵選択肢 2,4,5 では根平均二乗速さの方が小さくなってしまう。

選択肢 1 と 3 のどちらが正解かを考えるためには、π の次数にだけ注目すれば十分です。vF(v) を考えると、v の次数が 3 となるので、公式の 左下が使えると考えられます。同様に、v²F(V) を考えれば、v の次数が 4 となるので、公式の右下を使うことになります。すると、公式の右辺に注目すると π の次数が ½ 増えるとわかります。これで、正解は 3 と選ぶことが出来ます。

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全く知識がなかった場合も、なんとか与えられた情報を活用していくことで、時間がかかっても答えを選びたい問題です。

まず公式と　F(v)dv を比較することで、「a」 = 「m/2kT」,「x」 = 「v」　と設定します。さらに温度 T も定数であることに注意します。また、平均速さ、及び、根平均 2 乗速さ　の式において「分母は結局 1」 なので気にする必要はなく、略してOKです。

選択肢に注目すれば、結局 π の次数と定数部分だけ注目すればよいと考えて式に注目します。「vF(v)dv」 に関して、公式使えそうな部分が、x³exp(-ax²) です。この部分が 1/2a² になるということです。一方、v²F(v)dv になると、公式使えそうな部分が、x⁴exp(-ax²)=3/8a² ×√π/a です。a の中身において定数部分は、1/2 です。

以上をふまえ、まず平均速さの定数部分のみを計算してみます。

平均速さの定数部分については、√8 となります。

同様に根平均 2 乗速さの定数部分を計算すると

となり、√3です。

以上より、正解は 3 です。