n を自然数とする。27！(27の階乗)が 3ⁿ で割り切れるとき n の最大値はいくらか。
1．9
2．11
3．13
4．15
5．17

　解 説　　　　　

27! とは、27×26×・・・×3×2×1 のことです。「問題文にわけのわからない数が出てきた」というパターンなので「１：具体的な数で考える」、「２：選択肢の活用を考える」というアプローチで考えます。

まずは、n = 1 の時、3で割り切れるかと考えます。これは明らかに割り切れます。なぜなら 27 が3³ だからです。そうすると、27×26×・・・の中に「3^△」と直せる数字が何個あるかを考えれば、答えがわかりそうです。

次に、選択肢に注目すれば、せいぜい ９～１７個とわかります。すでに27 = 3³ で３が３個みつかっているので後は順に考えていけばなんとかなりそうです。３の倍数に注目すればいいので27から考えて「27,24,21,18,15,12,9,6,3」の９つの数字に注目します。それぞれ、素因数分解した時 ３がいくつ含まれるかを考える「3,1,1,2,1,1,2,1,1」 です。全て足すと 13 個です。

以上より、正解は 3 です。

ベクトルに関する、次の記述の ア、イ に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

である時、内積は( ㋐ )となる。このとき、2 つのベクトルのなす角θは( ㋑ )となる。ただし0 ≦ θ ≦ πとする。

　解 説　　　　　

ベクトルの内積の公式は

です。ベクトル同士が垂直であれば、内積をとれば 0 となります。※∵ θ = 90°なら、cos θ = 0 だからです。

従って、２つのベクトルの内積は 1 です。内積の公式の左辺に１を代入すれば
１=２cosθ　です。∴ cosθ = 1/2 となります。よって、θ = π/3 です。

以上より、正解は 4 です。

xy 平面上において、tを媒介変数として、x = 2t²＋1、y = 3t²＋2t＋1 で表される 曲線上にある点 (3,2) における接線の傾きはいくらか。
 
1．1
2．2
3．3
4．4
5．5

　解 説　　　　　

【解法 1：パラメータ表示の微分】
接線の傾きは dy/dx です。これを（dy/dt) / (dx/dt) と考えます。dx/dt = 4t です。dy/dt = 6t+2 です。従って、dy/dx = (6t+2)/4t・・・（１）と表すことができます。
点（3,2）というのは、t = -1 の時の値です。（１）に、t = -1 を代入して、-4/-4 = 1 です。
 
【解法 2：具体的な点を考えて推測】
解法１を知らなくても、ぜひこの問題は具体的な点から、少しでも選択肢をしぼりたい所です。

t = 0 の時、（1,1）です。
t = 1 の時、（3,6）です。
t = -1 の時、（3,2）です。
（↑これが求めたい接線の接点とわかります。）
t = -2 の時、（9,9）です。

これらの点を、t が－２から－１，０，１と変化していったと考えて順々に滑らかにつなぐと以下のようになります。

赤の点線が、大雑把な接線の雰囲気となります。選択肢から、傾きの候補は 1,2,3,4,5 です。1 が一番近そうと判断できると思います。

以上より、正解は 1 です。

4人でじゃんけんを1回行うとき、2人だけが勝つ確率及び、あいこになる確率の組合せとして正しいのはどれか。ただし、4人はグー、チョキ、パーをそれぞれ1/3の確率で出すものとする。

　解 説　　　　　

【解法１　数え上げる】
以降、４人を A,B,C,D と呼びます。A がグー、チョキ、パーのどれを出そうが確率は変わらないはずです。そこで、Aがグーと固定して考えます。
残りの B,C,D がそれぞれ３種類出す手があるので、3³ = 27 通りについて考えます。以下の表のようにまとめることができます。

2 人だけ勝つ確率は、6/27 です。あいこの確率は 13/27 です。

以上より、正解は 4 です。

【解法２（確率が好きだったり、いつもかけぐるってる人用）】
『２人だけ勝つ確率について』
勝つ２人の選び方は、「A,B、A,C、A,D、B,C、B,D、C,D」　と６通り考えられます。グーで勝つ、チョキで勝つ、パーで勝つ　という３通りがあるので
6×3/81
=18/81
=6/27 です。正解は 4 or 5 です。

『あいこの確率について』
あいこの確率はスパッとはわかりません。そこで、じゃんけんのパターンを、場に出た手の種類で分けると以下の３種類となります。

１：４人とも３種類のうち１種類しか出さない
=あいこ
２：４人とも３種類のうち２種類しか出さない
=誰かが勝つ
３：３種類全てが手として出る
=あいこ　です。

あいこになる、簡単な場合としてパターン１から考えます。

【パターン１　１種類のみ】
ある一種類として、グー、チョキ、パーの３つがあります。それぞれの場合について
(1/3)⁴ = 1/81 の確率です。従って、パターン１が成立する確率は、1/81 × 3 = 3/81 です。

パターン 3 は複雑なので、パターン 2 の確率を計算し、余事象として考えることによりパターン 3 の確率を求めます。

【パターン2　2種類のみ】
2種類の選び方は、３つあります。すなわち「グーとチョキ　のみ」、「グーとパー　のみ」、「チョキとパー　のみ」　の３つです。それぞれの場合について、(2/3)⁴ で成立しそうですが、これでは「全員がグー」のような『１種類のみの場合』を含んだ確率となっていることに注意が必要です。

・全員がグー→(1/3)⁴
・全員がチョキ→(1/3)⁴ といった形で「2×(1/3)⁴」を引きます。

よって、それぞれの場合について、(2/3)⁴ ー2×(1/3)⁴ =14/81 の確率です。従って、パターン 2 が成立する確率は、14/81 × 3 = 42/81 です。パターン１と２を合わせると 45/81 なので、パターン３の確率は、１－ 45/81 = 36/81　です。あいこの確率は、パターン１とパターン３なので、39/81 =13/27 です。

以上より、正解は 4 です。

図のフローチャートを実行するとき、出力される a はいくらか。

1．18
2．19
3．20
4．21
5．22

　解 説　　　　　

フローチャートなので、上から順に読んでいきます。ループ部分の 4つの処理（c ← a、a ← 2×b 、 b ← c+1 、 i ← i+1）を1 まとめにして数値を追うと

（ i,a,b,c）=（1,1,1,1）
（ i,a,b,c）=（2,2,2,1）y
（ i,a,b,c）=（3,4,3,2）y
（ i,a,b,c）=（4,6,5,4）y
（ i,a,b,c）=（5,10,7,6）y
（ i,a,b,c）=（6,14,11,10）y
（ i,a,b,c）=（7,22,15,14）n

a を出力すると、22 となります。

以上より、正解は 5 です。

半径 R の地球の周りを、地表から R の高さで等速円運動する人工衛星の速さとして最も妥当なのはどれか。ただし、地表における重力加速度の大きさを g とする。
なお、 r 離れた質量 M 及び m の物体間に働く万有引力 F は F = GMm/r² (Gは万有引力定数)で表される。

　解 説　　　　　

万有引力の公式
F = Gm₁m₂/ r² は基本公式です。与えられなくても覚えておく方がよいです。※地表面において  F = mg であることから、地球の質量を M、地球の半径を R とおけば「GM = gR²」が成り立ちます。万有引力の公式に関連してここまでが基本知識となります。

また、等速円運動ときたので、遠心力の公式を思い出します。「 F_遠心力=mrω² = mv²/r 」です。本問においては、地表から R の高さで円運動をしているから地球と人工衛星の距離は 2R と考えられます。

地球の質量を M、人工衛星の質量を m とします。「等速円運動」しているのだから「万有引力と遠心力が釣り合っている」と読み替えます。それぞれの公式より
GmM/4R² = mv²/2R 　となります。以上をまとめると、以下の図のようになります。

両辺に m,R があるから消して、GM/4R = v²/2。v = ・・・になおせばよさそうだけど、選択肢を見ると、g,R しか残ってはいけない。G,M が邪魔。そこで、地表面における万有引力に関する「GM = gR² 」を使うことで、gR/4 = v²/2∴ v = √(gR/2) となります。

以上より、正解は 2です。

図のように、光源から出てハーフミラーで反射した光が、回転している歯数 720 の歯車の歯の間を通った後に、反射鏡で反射されて同じ経路を通って戻る様子を観測するフィゾーの実験を行った。いま歯車の回転数を徐々に上げてn〔回/s〕としたところ、初めて暗く見えた。n はおよそいくらか。

ただし、光の速さを 3.00×10⁸ m/s とし、歯車から反射鏡までの距離を 1.00×10⁴ m とする。また、歯数 N の歯車が 1 秒間に 1 回転しているとすると、一つの歯が光をさえぎる時間は 1/2N〔s〕である。

1．10.4
2．11.9
3．13.4
4．14.9
5．16.4

　解 説　　　　　

フィゾーの実験についての問題です。光が往復する時間は「道のり÷速さ」で求めることができます。往復なので、道のりは 2.00 × 10⁴ m　となります。

( 2.00 × 10⁴ ) ÷ (3.00 × 10⁸ )
= 2/3 × 10^-4 (s) ・・・（１）

（１）が、光が往復する時間です。問題文より、歯数 N の歯車が１秒間に１回転しているとすると１つの歯が光を遮る時間は 1/2N 秒とあります。例えば、N=６の歯車があれば、１つの歯が光を遮る時間は 1/12 ということです。イメージは下図のようになります。

歯車の「回転数」が、１秒間に２回、３回・・・n 回と増えれば、一つの歯が、一回で光をさえぎる時間は1/2,1/3,,,1/n 倍となります。歯車の回転するスピードがどんどん速くなるのだから、一つの歯が光をさえぎっている時間がどんどん短くなる　ということです。

本問において、１秒間に歯車が n 回転するとします。１秒間に n 回転する歯数 720 の歯車であれば、１つの歯が光をさえぎる時間は、1/1440n ・・・（２）と表されます。

（１）と（２）がちょうど等しくなる時、光がさえぎられて、暗く見えるようになります。（１）=（２）を解くと、2/3 × 10^-4 = 1/1440n です。

右辺は 1/1.44n × 10^-3 とかけます。両辺に 10³ かけて、2/3 × 10^-1 = 1/1.44n です。左辺は 2/3 × 1/10 なので、1/15 と書き換えることができます。

1/15 = 1/1.44n となおせば、両辺の分子が共に１と等しい点に注目して、15 = 1.44n です。選択肢の数字を代入して検討すれば、n は約 10.4 です。

以上より、正解は 1 です。

図のような回路において、抵抗値が10Ωの抵抗で消費される電力はいくらか。

1．1.0W
2．2.5W
3．4.0W
4．5.5W
5．7.0W
 

　解 説　　　　　

並列部分の合成抵抗を考えると、3×6/(3+6) = 2 Ω です。

直列と合成すれば、10 + 2 = 12 Ωです。オームの法則 V = RI より、I = 0.5A とわかります。そして、P = VI = RI² なので、10 × 0.5² = 2.5 Wです。

以上より、正解は 2です。

図のように、磁束密度の大きさが B の一様な磁界中に質量 m、電気量 q の荷電粒子を点 X から速さ v で入射させたところ半円形の軌跡を描いて点 Y に達した。この荷電粒子が有する電気量の正負及び XY 間の距離 d の組合せとして最も妥当なのはどれか。

ただし、磁界の向きは紙面の裏側から表側の向きでかつ紙面に対して垂直であるものとする。また、重力の影響は考えないものとする。

　解 説　　　　　

「磁界から電荷が受ける力」　ときたら、ローレンツ力の公式　f = qvB です。力の向きが点 X において明らかにY方向なのでフレミングの左手の法則や手のひらを使って考えます。

ここで、荷電粒子を負電荷と仮定すれば粒子は正に電子です。電子の流れと逆方向が電流の流れる方向であることに注意して、イメージ図のような関係になります。この時、力は電流の向きから見て右巻き方向垂直。これはX→Y方向への力であり荷電粒子の軌跡と矛盾しません。したがって、電気量の正負は「負」です。

加えて、B が強くなれば、強い力を受けてキュッと曲がって d は短くなるはずです。つまり d と B は反比例するはずなので、正解は 4 or 5 です。

後は等速円運動の運動方程式 mv²/r = f で、f = qvB と連立させて考えれば、r = mv/qB となります。 d = 2r なので、d = 2r = 2mv/qB　です。

以上より、正解は 5 です。

実在気体の分子半径に関する、次の記述の㋐、㋑、㋒に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。ただし、アボガドロ定数を6.0×10²³mol^－1とする。「圧力 P、モル体積 Vm、温度 T の実在気体の状態方程式として

で表されるファンデルワールスの式がある。ここで R は気体定数であり a、bはファンデルワールス定数である。a、bのうち ( ㋐ ) は気体分子 1mol 当たりの排除体積を表している。

排除体積を分子レベルで考える。気体分子を半径 r の球として考えると、図のように、気体 2 分子において一方の分子の網掛け部分すなわち半径 2r の球の部分より近くには他の分子の中心は侵入できない。つまり他分子を排除している。よって、1 分子当たりにすると、気体分子の体積の( ㋑ )倍が排除体積となる。

ヘリウムの a、b はそれぞれ 3.45×10^－3 Pa・m⁶・mol^－2 及び 2.37×10^－5 m³・mol^－1 である。ヘリウムの原子半径を r₀〔m〕とすると、r₀³ = ( ㋒ )m³ となる。」

　　㋐　　㋑　　　　　㋒
1．a　　　4　　　3.5×10^－28
2．a　　　8　　　2.4×10^－30
3．b　　　4　　　2.4×10^－30
4．b　　　4　　　1.4×10^－29
5．b　　　8　　　3.5×10^－28

　解 説　　　　　

【㋐について】
実在気体の体積を調整する項は「ーｂ」です。これは知識です。正解は 1~3 です

【㋑について】
・気体分子の体積 = 半径 r の球の体積 ∴V = 4/3 πr³

・排除体積 = 半径 2r の球の体積 =  4/3 π（2r）³ = 8V（∵V = 4/3 πr³）。気体 2 分子において、排除体積が 8V なので、1 分子あたりでは 4V となります。正解は 3 or 4 です。

【㋒について】
㋐より、b が 1 mol あたりの排除体積と書いてあるので、2.37 × 10^-5 が 「1 mol あたり排除体積」です。

㋑で計算したのが、「1分子あたりの排除体積」なので、１分子あたりなら排除体積は 4V = 4×4/3 πr³ と表すことができています。

1mol = 6.0 × 10²³ 個　なので『2.37×10^-5 = 4×4/3 πr₀³ × (6.0 × 10²³ )』が成り立つはずです。この式を、r₀³ = ・・・の形にすればよいとわかります。選択肢より、それほど厳密な解は不要なので、2.37 ≒ 2.4、 π ≒ 3 と近似して見ると

となります。

以上より、正解は 3 です。