sinθ＋cosθ = a (aは定数) のとき、sinθcosθ 及び sinθ－cosθ の組合せとして正しいのはどれか。ただし0＜θ＜π/4とする。

　解 説　　　　　

解法１【三角関数の知識を使う】
sinθ+cosθ = a の両辺を二乗します。ここで、sin²θ＋cos²θ = 1 です。

(sinθ+cosθ)² = a²
sin²θ+2sinθcosθ + cos²θ = a²
1 + 2sinθcosθ = a²
∴ sinθcosθ = a² -1 /2 です。正解は 1 or 2 です。

また、sinθ – cosθ を直接求めることはできませんが 二乗すれば

(sinθ – cosθ)²
=sin²θ+cos²θ -2sinθcosθ
=1-2sinθcosθ
=1-2 ×（a² – 1/2）
=1-(a² -1)
=2-a²なので、両辺を ±√ します。

sin θ ー cos θ　は、0~π/4 で明らかに負なので、答えはー√ 2-a² です。

以上より、正解は 1 です。

【解法２　具体的な数で考える】
θを、有名角である 30°とします。
sin30° = 1/2 = 0.5、cos30° = √3/2 です。√3 ≒ 1.7 なので、cos30° ≒ 0.85 です。従って、a = sin30° + cos30° ≒ 0.5 + 0.85 ≒ 1.35 です。すると、a² = (1.35)² ≒ 1.8です。a² – 1 ≒ 0.8 とわかります。(a² – 1)/2 ≒ 0.4 です。

一方、sin30°cos30° = 1/2 × √3/2 ≒ 0.5 × 0.85 ≒ 0.4 です。従って、sin30°cos30° ≒ (a² – 1)/2 です。正解は 1 or 2 です。

以下、選択肢 1,2 の検討をします。
θ = 30°の時、a² ≒ 1.8 でした。よって、２－a² ≒ 0.2 です。√0.2 は、大体 0.4~0.5 です。（√0.2 とは「二乗したら 0.2 になる数」です。0.4² = 0.16,0.5² = 0.25 なので、√0.2 は、0.4~0.5 ぐらいとわかります。）sin30°-cos30° ≒ 0.5 – 0.85 ≒ -0.35  　だいぶ近いです。

一方、4-a² = 2.2 なので、(4-a²)/2 ≒ 1.1 です。√をとってもほぼ 1 です。明らかに誤りです。

以上より、正解は 1 です。

図のように、△ABC、△DEF及び直線 BF 上の線分 CE に接する円の半径 r を、L を用いて表したものとして正しいのはどれか。

ただし、AB：BC：CA = 4：3：5、DE：EF：FD = 5：3：4とし、CE の長さを L とする。

　解 説　　　　　

そのままの図形を見てもよくわからないので、補助線を引いて考えます。補助線を引く時の原則は「１：円が出てきたら中心と特徴的な点を結んで見る、２：直線を延長してみる」です。以下のような補助線をひいたとします。

図形における三角形は全て相似で、辺の比が３：４：５です。△OHG に注目すると OH：OG が３：５です。そして、OH = OM = ｒです。比で言う ③ が 長さ r なので、MG は、比で言う ② とわかります。r を用いて表すと、2r/3 です。 図に書き込むと、以下になります。

△MGCに注目すれば、やはり、辺の比は３：４：５です。従って、MC の長さは、MG×3/4 です。2r/3 ×3/4 = r/2 となります。 CEの長さ(L)は、明らかに MC の２倍なので r です。

以上より、L = r です。正解は 3 です。

底面が正三角形で体積が 54 である三角柱の表面積が最小となるときの、底面の一辺の長さはいくらか。

1．2
2．3
3．4
4．6
5．9

　解 説　　　　　

【解法１】
一辺 を a とおきます。正三角形の面積は √3/4 a² です。これは公式として覚えると良いです。体積が 54 なので、高さを h とおくと 54 = √3/4 a² × hです。よって
h = 54/(√3/4 a²)
= 72√3/a² です。

表面積は、「底面積×2 + 3×側面積」です。
2 ×（√3/4 a²）＋3 × a × 72√3/a²
= √3/2 a² + 216√3/a
= √3(a²/2 + 216/a) と表せます。よって、a²/2 + 216/a の最小値がわかればよいです。

正解は a = 2,3,4,6,9 のどれかなので、代入していきます。それぞれ、110 , 76.5 , 62 , 54 , 64.5 となります。従って、a = 6 の時最小です。正解は 4 です。
 
【解法２】
選択肢を活用します。
いきなり一辺２と仮定します。すると、底面積は√3 です。体積が 54 なので、高さが18√3 とわかります。側面積は 3 × (18√3 × 2) = 108√3 です。よって、表面積は 2√3 + 108√3 = 110√3 です。

以下、同様に一辺が 3,4,6,9 の場合の表面積を出していけば
a = 3 の場合
底面積9/4 √3、高さ 8√3、表面積 110√3

a = 4 の場合
底面積 4√3、高さ 9/2 √3、表面積 76.5√3 ・・・となり、 a = 6 の時最小とわかります。
 
※『総合職を受ける人用』
１：f(a) = a²/2 + 216/a とおき、微分して最小値を求める。216/a は、216×a^-1 とすれば、商の微分の公式不要。

微分すると
a² -216a^-2 となる。
a² -216a^-2 = ０ を解いて、a = 6。
 
２：相加・相乗平均の応用
f(a) = a²/2 + 216/aを
a²/2 + 108/a + 108/a とみなして考える。
1/3(a²/2 + 108/a + 108/a)≧₃√(a²/2 × 108/a × 108/a)
 等号成立は「a²/2 = 108/a」 の時。つまり、a³ = 216 。従って、a = 6 の時最小。

ある製品が不良品である確率は0.02である。また、この製品の品質検査では、良品が良品であることを正しく判定する確率は 0.90 であり、不良品が不良品であることを正しく判定する確率は 0.80 である。この製品の品質検査の判定が誤りである確率はいくらか。
 
1．0.064
2．0.088
3．0.102
4．0.136
5．0.176

　解 説　　　　　

「判定が誤りである」とは、１：良品を不良品と判定する、２：不良品を良品と判定する　という２パターンが考えられます。１の確率は 98/100 × 1/10 です。２の確率は 2/100 × 2/10 です。これらを足すと、102/1000 です。

以上より、正解は 3 です。
 
【具体的な数で考える】
選択肢が小数点３桁まで問われているので、製品の個数を 1000 個とします。不良品の確率が 0.02 なので、1000 × 0.02 = 20 個 が不良品です。つまり、良品は 980 個、不良品が 20個です。

品質検査を行う時、１：「品物が良品」である確率 → 980/1000 です。そして、この良品を不良品と判断してしまう確率が 1/10 です。２：「品物が不良品」である確率
→20/1000 です。この不良品を良品と判断してしまう確率が、2/10 です。１，２のケースの確率を足せば、980/1000 × 1/10 + 20/1000 × 2/10 = 1020/10000 = 0.102 です。

以上より、正解は 3 です。

図のフローチャートにおいて出力される a はいくらか。

1．16
2．20
3．36
4．50
5．64

　解 説　　　　　

チャートを上から読んでいきます。
(i,a,b) = (1,10,0)n
(i,a,b) = (2,12,0)nn
(i,a,b) = (3,14,0)nn
(i,a,b) = (4,16,0)y
(i,a,b) = (4,26,6)y
(i,a,b) = (5,28,6)y
(i,a,b) = (5,38,15)y
(i,a,b) = (6,40,15)y
(i,a,b) = (6,50,26)ny → a = 50 が出力

以上より、正解は 4 です。 

図のように、質量 m の小球を付けた長さ L の糸の一端を天井に付けて、鉛直方向と糸のなす角が60°となるように小球を水平面内で等速円運動させた。このとき、この円運動の周期として最も妥当なのはどれか。ただし、重力加速度の大きさを g とする

　解 説　　　　　

【解法１　円錐振り子の周期の公式】
単振り子、ばね振り子の周期と合わせて「円錐振り子の周期」については、公式として覚えておくとよいです。単振り子の 「l」が「lcosθ」になったものです。すなわち

本問では θ = 60° なので、cos 60° = 1/2 です。公式に 1/2 を代入して、解答の選択肢に形を合わせると以下のようになります。

以上より、正解は 1 です。

【解法２　等速円運動に注目】
等速円運動という点に着目してまず思い出す公式は、遠心力 = mrω² です。力の釣合いを考えると以下のようになります。

張力 T を縦に分解したもの（赤丸囲い）は、縦方向の力の釣合に注目すれば mg とわかります。

一方、張力 T を横に分解したもの（赤丸囲い）は、特殊な直角三角形の辺の比より√3mg とわかります。この力は遠心力と釣り合うはずです。遠心力の公式に含まれる「r」は、L を含む直角三角形に注目すれば、辺の比から √3/2 L と表されます。

となります。ω とは、角速度です。1 秒間に何ラジアン進むかです。そして、1 周が 2πラジアンです。よって、周期、つまり「１周に何秒かかるか」は「2π ÷ ω」　で求めることができます。

となり、正解は 1 です。

一端が閉じた、ある長さの管がある。空気中において振動数を連続的に変更できる音源を使い、音の振動数を 0Hz から次第に大きくしながらこの管の開口端付近で音を鳴らしたところ、3.00×10² Hz のときに初めて共鳴した。

ヘリウム中において同様の操作を行い、音の振動数を 0Hz から次第に大きくするとき、初めて共鳴する振動数はおよそいくらか。ただし、空気中の音速を3.40×10² m/s、ヘリウム中の音速を1.02×10³ m/sとする。また、開口端補正は無視する。
 
1．1.00×10²Hz
2．1.50×10²Hz
3．3.00×10²Hz
4．6.00×10²Hz
5．9.00×10²Hz

　解 説　　　　　

閉管の共鳴で振動数を大きくしていって初めての共鳴なので、空気中でも、ヘリウム中でも以下の図のような波です。

波の基本式 v = fλ を思い出します。λ が波長なのですが、波長は空気中でもヘリウム中でも同じ長さです。しかし、波の速さは異なります。よって、以下のようになります。

従って、求める f は、空気中の波の振動数の 3 倍です。
f  = 3 × 3.00×10² = 9.00×10²です。

以上より、正解は 5 です。

図のような回路において、電流 I₁、I₂ の大きさの組合せとして最も妥当なのはどれか。

　　I₁　　I₂
1．0A　　2A
2．0A　　5A
3．1A　　2A
4．2A　　2A
5．2A　　5A

　解 説　　　　　

「電池が２個以上」なので、キルヒホッフの法則で考えます。

上図の部分の閉回路に対して、キルヒホッフの第二法則を考えます。「起電力の和＝電圧降下の和」です。４Vの電池の所を「マイナス極→プラス極」方向に通過しているので、起電力は＋４と読みます。４Ω の抵抗部分を流れる電流を I とすれば、電圧降下は RI なので、４I　です。従って、４=４I です。I=１とわかります。

I=１とわかったので、キルヒホッフの第一法則により、電流について以下のように流れていることがわかります。

一方、下図のように、右側部分に注目して同様に考えると

２Ωの所を流れる電流は、キルヒホッフの第二法則より８=２× I なので、I = 4 とわかります。

I=4 とわかったので、キルヒホッフの第一法則により、電流について以下のように流れていることがわかります。

電流の方向に気をつけて
（I₁ ー 1）= ー（I₂ ー 4）とわかります。
I₁ + I₂ = 5 です。

選択肢の中で、I₁ + I₂ = 5 となるのは、I₁ = 0A、I₂ = 5A の組合せだけです。

以上より、正解は 2 です。

2個の重水素原子核が互いに等しい運動エネルギーで正面衝突して

この核反応に関する次の記述の ㋐、㋑ に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

ただし、重水素、He のそれぞれの原子核 及び 中性子の質量は、それぞれ
3.3436×10^－27kg、5.0064×10^－27kg、1.6749×10^－27kgとし、真空中の光速度は3.0×10⁸m/sとする。

また、この核反応では、エネルギーを運び去る光子などの粒子はなかったものとする。
 
・　この核反応で放出される核エネルギーはおよそ( ㋐ )×10^－13 Jである。
・　核反応後の He と n の運動エネルギーをそれぞれ K₁、K₂ とする。この衝突において運動量が保存されると仮定すると、K₁：K₂ はおよそ1：( ㋑ )である。
 
㋐　　㋑
1．2.7　　1
2．2.7　　2
3．2.7　　3
4．5.3　　2
5．5.3　　3

　解 説　　　　　

E=mc² を知っている前提です。

式の左辺における質量は、重水素が２つなので
3.3436×10^－27kg × 2 です。

式の右辺における質量は、ヘリウム１つと中性子１つなので
5.0064×10^－27kg ＋ 1.6749×10^－27kgです。

係数部分を計算してみると
6.6872 と、6.6813 です。わずかに減少しており、その差は
0.0059 = 5.9 × 10^-3とわかります。

質量差分のエネルギーは、E = mc² より
E = (5.9 × 10^-3)×(3.0×10⁸)² ≒5.3 × 10¹³ です。よって正解は 4 or 5 です。

核反応の模式図を書くと、下図のようになります。

衝突は、同じ重水素が互いに等しい運動エネルギーだった　ということなので、衝突における速度も同じだったとわかります。すると、衝突前において運動量は同じ大きさで逆向きなので、足せば０です。

衝突後において、Heの速度を ーｖ、中性子の速度を V とおきます。大雑把な比がわかればよいので、He の質量を５、中性子の質量を 1.67 とした上で、比で考えて 「３」：「１」とおきます。すると運動量は
３ ×（ーｖ）＋１ × V　と表すことができます。

衝突の前後で運動量が保存されたのだから
０=３×（ーｖ）＋１×V　です。従って、３v=V です。よって、v = 1/3 V と表すことができます。

He の運動エネルギーは
1/2 × ３ × (1/3V)² = 1 / 6 V² です。

中性子の運動エネルギーは
1/2 × １ × V² = 1/2 V² です。

1/6：1/2 = 1:3 となります。

以上より、正解は 5 です。

n molの非理想気体(実在気体)の圧力 P、体積 V、温度 T の関係をファンデルワールスの式で表すと次のとおりとなる。

ただし、R は気体定数、a, b は各気体に特有の定数である。この式を変形すると次のとおりとなる。

また圧縮因子は次のとおりとなる。

理想気体では Z = 1 であるが実在気体では Z = 1 にはならず次に示すビリアル方程式で表すことができる。

ここで B₂ は第二ビリアル係数と呼ばれ B₂ = 0となる温度をボイル温度という。ファンデルワールスの式に従う気体のボイル温度を, a, b 及び R で表したものとして最も妥当なのはどれか。ただし

　解 説　　　　　

いわゆる現場思考型の問題です。与えられた式から何とか答えをその場で導くタイプで、知識は特に必要ありません。

本問では、問題文において、Z が 2 通りにあらわれています。この 2 つの表し方は
結局は Z のことだから

で、全然形違うじゃないか。。。と思うところですが、そこでヒントとしてあるのが謎の変形をされている

と、ただし

という２つの式です。
 
そこで、まずヒント 1 を代入してみます。その後、無理やりヒント２を使って式変形をした過程が以下になります。

となり、なんだか似た形になってきました！

B₂ というのは、n/V の係数なので、n/V が出てくる項のみに注目すると『nb/V – a/RT×(n/V)』　です。共通因数である n/V でくくると、(n/V) × (b – a/RT) となります。つまり、B₂ = (b – a/RT) です(!)。B₂ = 0 となる温度 T を求めればよいので、0 = b – a/RT を変形すると、T = a/bR です。

以上より、正解は 3 です。