ある学級の生徒の日々の生活について，次のことが分かっているとき，論理的に確実にいえるのはどれか。

○　夜10 時以降に就寝している生徒は，自宅学習をしている。
○　遅刻したことがある生徒は，夜11 時以降に就寝し，かつ朝7 時以降に起床している。
○　遅刻したことがない生徒は，朝7 時より前に起床している。

1．朝7 時以降に起床している生徒は，自宅学習をしている。
2．朝7 時より前に起床している生徒は，夜11 時より前に就寝している。
3．自宅学習をしている生徒は，遅刻したことがある。
4．自宅学習をしていない生徒は，朝7 時以降に起床している。
5．遅刻したことがない生徒は，夜10 時より前に就寝している。

　解 説　　　　　

◯◯は、△△　という形式が並んでいるので、命題の問題です。即座に対偶を考えます。and（かつ） の否定は or （または）である点に注意します。

• 夜10時以降就寝→自宅学習◯、「自宅学習☓→夜10時以前に就寝」
• 遅刻あり→夜11時以降就寝 and 朝 7時以降起床、「夜11時以前就寝 or 朝7時以前起床→遅刻なし」
• 遅刻なし→朝 7 時以前起床、「朝 7 時以降起床→遅刻あり」

選択肢 1 から検討すると、朝 7時以降起床→遅刻あり→夜11時以降就寝（and 朝 7時以降起床）→自宅学習◯　とつながります。
※「夜 11 時以降就寝なら、当然夜10 時以降就寝」と考えて、最後の矢印はつながっています。つまり、この命題は論理的に確実です。

従って、正解は 1 です。

男性2 人，女性3 人のＡ～Ｅの5 人の学生が，Ｗ～Ｚの4 社がそれぞれ行う採用説明会のいくつかに参加した。5 人の学生の参加状況について，各社の採用担当者及び学生が次のように述べているとき，確実にいえるのはどれか。

Ｗ社：「弊社の説明会に参加したのは2 人だった。それらの学生は2 人とも男性だった。」
Ｘ社：「弊社の説明会に参加したのはＡ，Ｂ，Ｅだった。」
Ｙ社：「弊社の説明会に参加した男性は1 人だった。」
Ｚ社：「弊社の説明会に参加しなかったのは1 人だった。その学生は男性だった。」

Ａ：「Ｗ社の説明会には参加しなかった。」
Ｂ：「4 社全ての説明会に参加した。」
Ｃ：「Ｙ社の説明会には参加した。」
Ｄ：「1 社の説明会にのみ参加した。」
Ｅ：「3 社の説明会に参加した。」

1．Ｘ社の説明会には男性が2 人参加した。
2．Ｙ社の説明会に参加したのは3 人だった。
3．Ｃは1 社の説明会にのみ参加した。
4．ＤはＺ社の説明会に参加した。
5．Ｅは女性だった。

　解 説　　　　　

各発言を上から順に見ていって、確実な部分をまず埋めると以下のようになります。

改めて、発言を 上から見てみると、W社の発言より、W社に◯がついている B は男性です。次に、Y 社の発言＋ B が男　なので、C は女です。そして、Z 社の発言より、女ならば◯となるので、C は Z ◯です。さらに、W 社の発言より、女ならば、W は ☓ とわかります。

ここまでを表にまとめると以下のようになります。この時点で、選択肢 1,3 は誤りです。

そして、E が 男とすると、Y は ☓ です。男が 2 人参加することになってしまうためです。すると、 E は Y 以外に参加するのですが、そうすると、男が 2 人とも Z 社に参加することになります。男は全部で 2 人なので、Z 社の発言と矛盾します。従って、 E は女です。

E が女であれば、W が ☓ で、他は ◯ です。だいぶ埋まってきたのでまとめると、下図のようになります。これをふまえ、選択肢を改めて検討すると、正解は 5 です。

一応、これで W に D ◯なので、Dは男です。残った A は女です。D は１社のみ参加なので、D のY,Z は☓です。A の Z は ◯ です。A の Y 社のみ◯☓不確定で終了です。

ある地域の運動会で，赤，白，青，黄，桃の五つの異なる組にそれぞれ所属しているＡ～Ｅの5 人が，借り物競走に出場した。

5 人は同時にスタートし，途中の地点で，借り物を指示する5 枚のカードから1 枚ずつ選び，指示された物を借りてきてゴールに向かった。借り物を指示するカードには，「軍手」「たすき」「なわとび」「マイク」「帽子」の5 種類が1 枚ずつあった。

5 人が次のように述べているとき，確実にいえるのはどれか。なお，同時にゴールした者はいなかった。

Ａ：「私がゴールしたときにまだゴールしていなかったのは，白組と桃組の走者の2 人だった。」
Ｂ：「私の2 人前にゴールしたのは赤組の走者で，軍手を借りていた。」
Ｃ：「私の直後にゴールした走者は，たすきを借りていた。」
Ｄ：「私の直前にゴールしたのは黄組の走者で，帽子を借りていた。」
Ｅ：「指示されたなわとびを探すうちに， 2 人以上の走者が先にゴールしたが，私がゴールしたのは最後ではなかった。」

1．Ａは帽子を借りた。
2．Ｂはたすきを借りた。
3．Ｃは軍手を借りた。
4．Ｄは青組だった。
5．Ｅは桃組だった。

　解 説　　　　　

人に複数の属性があり、かつ順序関係がある時、ブロック積み木で条件をまとめると考えるのが簡単になります。本問では、以下のように条件をまとめることができます。

発言から A は 3 位、E は ３位より遅く 5 位ではないため、４位です。また、B は ３位以下なので、５位と確定します。積み木をはめてみると以下のようになります。

残った部分の形から、C が１位で D が 2 位です。積み木をさらにはめると下図のようになります。

以上をふまえ、各選択肢を検討すると

選択肢 1 ですが、 A は帽子を借りていません。よって、選択肢 1 は誤りです。

選択肢 2 ですが、 B は残っているマイクを借りています。たすきを借りていません。よって、選択肢 2 は誤りです。

選択肢 3 ですが、C は帽子を借りています。軍手ではありません。よって、選択肢 3 は誤りです。

選択肢 4 は妥当です。 D は確かに青組とわかります。

選択肢 5 ですが、 E は白 or 桃です。確定しません。

正解は 4 です。

図のように， 1 階に西口， 3 階に東口を有する地下1 階，地上7 階のオフィスビルがある。Ａ～Ｇの7 人は，このオフィスビルの異なる階にそれぞれ勤務しており，出勤時，退勤時には，東口，西口のいずれかを利用する。次のことが分かっているとき，確実にいえるのはどれか。

• Ａ～Ｇは， 3 階分以上昇るとき，又は， 4 階分以上降りるときはエレベーターを使い，それ以外の昇降には階段を使う。また，出勤時に東口を利用する人は3 人，退勤時に東口を利用する人は4 人いる。
  
• Ａは，出勤時，退勤時共に西口を利用し，いずれもエレベーターを使う。また，Ａは，Ｃより下の階で勤務している。
  
• Ｂは，出勤時，退勤時共に同じ出入口を利用し，いずれもエレベーターは使わない。
  
• Ｃは，退勤時に東口を利用し，出勤時にはエレベーター，退勤時には階段を使う。
  
• Ｄは，出勤時，退勤時に異なる出入口を利用し，出勤時には階段，退勤時にはエレベーターを使う。
  
• Ｅは，出勤時，退勤時共に西口を利用し，出勤時にはエレベーター，退勤時には階段を使う。
  
• Ｆは，出勤時，退勤時共に東口を利用し，いずれも階段，エレベーターは使わない。
  
• Ｇは，出勤時に東口を利用し，出勤時には階段を使うが，退勤時には階段もエレベーターも使わない。

1．Ａは6 階で勤務している。
2．ＢはＦより上の階で勤務している。
3．ＣはＥの一つ上の階で勤務している。
4．Ｄは地下1 階で勤務している。
5． 2 階には，Ａ～Ｇのいずれも勤務していない。

　解 説　　　　　

A から順に条件を検討していくと、面白いぐらいに決まっていきます。よくできている問題だなぁ、と正直感じました。ただ、本番でこの問に「後少しで解けそう・・・」と感じて、時間を激しく消費しそうな印象です。あくまでも max 6 分でいったん切り上げることが大切です！

A：「オフィス→退勤が西口（１F）でエレベーター」なので、５階よりも上がAのオフィスです。「Cより下」とあるので、７Fではありません。５ or ６F　です。C は６ or ７F です。

そして、C の発言に注目すると「退勤時が東口（３F)で階段」なので、Cのオフィスは７階ではありません。以上より、C が 6F、A が 5F です。この時点で選択肢 1,3 が消えます。ここまでを表の形でまとめると、以下のようになります。

B,Dの発言からは絞れないので、E以降に注目します。Eは「出勤時（上り）でエレベーター、退勤時（下り）で階段」なので、４F と確定します。Fは、まさに東口のある階にオフィスがある、と読み取れるので、３Fです。Gは、東口→オフィス = 出口の階　なので、１Fです。

ここまでを表に追加すると以下のようになります。

ここで、退勤時に東口を利用する人は４人なので、B,Dの退勤は東口です。Dに注目すると、西口→階段でオフィス→エレベーターで東口　です。これを満たすのは、地下１Fです。Dが地下 1 階と確定したので、正解は 4 です。

ちなみに、残っているのが 2 or 7Fで、 B はエレベーターを使っていないので 2F です。以上より、表は以下のようになります。

Ａ～Ｆの6 人は友人どうしで，カイロ，デリー，バンコク，ブエノスアイレス，ベルリン，ロンドンの6 か所の異なる都市にそれぞれ住んでいる。

この6 人の居住地や，ある期間におけるこの6 人の間でのメールの送受信の状況について，次のことが分かっているとき，確実にいえるのはどれか。

• ＡとＢはヨーロッパに，ＤとＥはアジアに住んでいる。
  
• Ａは，Ａにメールを送信した友人以外の全員にメールを送信した。
  
• Ｂは，カイロに住んでいる友人を含め計3 人にメールを送信した。また，Ｂがメールを送信した友人のうち，Ｄのみからメールを受信した。
  
• Ｃは，アジアに住んでいる友人1 人にメールを送信した。また，ヨーロッパに住んでいる友人1 人からメールを受信した。
  
• Ｄは，ヨーロッパに住んでいる友人2 人とアジアに住んでいる友人1 人の計3 人にメールを送信した。また，ベルリンに住んでいる友人を含め，計2 人からメールを受信した。
  
• Ｅは誰にもメールを送信しなかった。また，Ｃ以外の全員からメールを受信した。
  
• Ｆは，ロンドンに住んでいる友人とバンコクに住んでいる友人の計2 人にメールを送信した。また，ベルリンに住んでいる友人からメールを受信した。

1 Ａはロンドンに住んでおり，Ｂからメールを受信した。
2 Ｂはベルリンに住んでおり，Ｆにメールを送信した。
3 Ｃはカイロに住んでおり，Ｂからメールを受信した。
4 Ｄはバンコクに住んでおり，Ｅにメールを送信した。
5 Ｆはブエノスアイレスに住んでおり，Ａからメールを受信した。

　解 説　　　　　

カイロは、エジプトの首都です。これはアフリカです。以下、デリー→インド→アジア、バンコク→タイ→アジア、ブエノスアイレス→アルゼンチン→南米、ベルリン→ドイツ→ヨーロッパ、ロンドン→イギリス→ヨーロッパ　なので、ヨーロッパは２都市、アジアは２都市と考えられます。

C の発言から、Cはアジアに送信しているため、C→A,B,Fは☓です。同様に、ヨーロッパから受信なので、→C D,E,F は☓です。

D の発言から、D→A,Bは◯です。また、D→Fは☓です。

F の発言から、アジアでもヨーロッパでもない F→C は☓です。F→E◯なので、Eがバンコクです。送信を、「A→」、受信を「→A」のように表して、表にまとめると、以下のようになります。

この時点で、選択肢 4 は誤りです。

発言を改めて見直してみると、Cが送信したのは D とわかります。また、D→A◯なので、A→Dは☓です。よって、Dの「ベルリン（ヨーロッパ）からの受信」は、Bからとわかります。よって、Bがベルリンです。

すると、F はベルリンから受信しているため、B→Fが◯です。

そして、Fの「ロンドン（ヨーロッパ）への送信」とは、「Aへの送信」です。Aはロンドンです。以上を表に追加します。

選択肢を順に検討すると、選択肢 1 はまだわかりません。選択肢 2 は確実にいえます。よって、正解は 2 です。

ちなみに、残りの部分を考察すると、Bがカイロ含め、計３人なので、B→A,B→Cが☓、Fがカイロです。よって、選択肢 1 は誤りです。選択肢 3,5 ですが、Fがカイロなので、Cはブエノスアイレスです。よって誤りです。

Ａ～Ｇの7 人が8 km のハイキングコースを歩いた。このコースには，スタート地点から1 km ごとに1 番目から7 番目までの休憩の取れる地点が設置されていた。

各人の休憩を取った状況について，次のことがかっているとき，確実にいえるのはどれか。ただし，Ａ～Ｇはコースを戻ることはなかったものとする。

• 各人はちょうど三つの地点で休憩を取った。7 人のうち，いずれの2 人をみても，休憩を取った三つの地点のうち，一つの地点だけが一致した。
  
• 休憩を取った地点が三つ連続したのはＡのみであった。
  
• ＡとＢが最初に休憩を取った地点は1 番目であった。また，Ｂが最後に休憩を取った地点は5 番目であった。
  
• Ｃが休憩を取った地点は一つ置きであった。また，Ｃが最後に休憩を取った地点は6 番目で，Ｆもその地点で休憩を取った。
  
• Ｄが最初に休憩を取った地点と次に休憩を取った地点とは連続していた。
  
• Ｅが休憩を取った地点は，いずれも連続していなかった。

1 Ｃは3 番目の地点で休憩を取った。
2 Ｄは5 番目の地点で休憩を取った。
3 Ｅは4 番目の地点で休憩を取った。
4 Ｆは1 番目の地点で休憩を取った。
5 Ｇは6 番目の地点で休憩を取った。

　解 説　　　　　

Aは最初に休憩を１番目で取り、三つ連続しているので、１～３で休憩しています。７人のうち、いずれの２人をみても休憩地点は１つだけ一致なので、Bは 2,3 地点では休憩していません。さらに、Bが最後に休憩を取ったのが５番目とあるので、６，７は☓です。

C が最後に休憩をとったのは、６で、一つおきに休憩ということなので、２，４，６で休憩しています。６はFも休憩しています。

Dの最初と次の休憩が連続している、ということから、Aと２つかぶらないようにするために、１，２で休憩していないとわかります。以上の条件を表にまとめると、以下のようになります。

表を見つつ改めて発言を見直してみます。まず、表のBの行に注目すれば、三つの地点で休憩なので、Bの４，５は◯とわかります。

また、そうすると、Dの最初と次は連続している　ということなので、最初が４番目はありえません。Bと２つかぶってしまいます。さらに、３連続休憩は A のみなので、Dの最初の休憩が５番目ということもありえません。

よって、Dの最初の休憩は３番目です。そして、Cとかぶらないようにするためには、７番目で休憩ときまります。

また、F は C とのかぶりを考えると、２，４は☓です。ここまでを表に追加します。

Eは連続しない、ということから、１◯とするとA,Bとのかぶりを避けるとどうしても６、７になりますが、連続しないためだめです。２，５，７しかありません。
※３，５，７も D とかぶってだめです。

ここまでで選択肢を検討すれば、選択肢 1~3 は誤りとわかります。

選択肢 4 を検討すると、１，３だと A とかぶり、１，５だと B とかぶるので、F の残りの休憩地点は１，７か、３，５です。

F が １，６，７と休憩した場合、G の休憩は ３，５，６となります。また、F が３，５，６と休憩した場合、G の休憩は １，６，７となります。どちらにしても、G は６番目の地点で休憩をとったとわかります。

以上より、正解は 5 です。

図のように，正方形の紙を破線部分で4 回折り，⑤の着色部分を切り取って除いた。残った部分を広げたときの形として最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

選択肢を見ると、◯とダイヤモンドの並びの部分に注目すれば正解を選べそうなので、⑤の半円と△の部分のみに注目して開いていってみます。

選択肢に斜め線を入れて比較してみれば、「◇→◇→◯→◯→◇」というつながりになっているのは選択肢 5 のみです。よって、正解は 5 です。

図Ⅰのような底面にのみ模様のある正四面体があり，また，図Ⅱのような正四面体の一面と同じ大きさのタイルが敷き詰められた床がある。

この床のＡ～Ｅのいずれかの場所に，模様のある面を底面としてタイルと底面とが合わさるように正四面体を置いた。正四面体の辺を軸として床の上を滑ることなく回転させ，これを繰り返すと，Ｘで正四面体の模様のある面が底面となった。

このとき，最初に正四面体を置いた場所として最も妥当なのはどれか。

1．Ａ
2．Ｂ
3．Ｃ
4．Ｄ
5．Ｅ

　解 説　　　　　

星模様以外の面をA,B,Cと名付けて、具体的に底面がどの面になるかを具体的に追っていきます。２回転がした所までをまとめると、以下のようになります。

以下、４回目まで転がした所をまとめると、以下のようになります。

後は、赤◯で囲った部分が繰り返されると考えられます。

すなわち、左下、右下の☆を頂点としてすぐ下の段の底面が左から「BAC」、その下の段が左から「☆C,A,B、☆」です。従って、☆が底面に来るのは、B とわかります。

以上より、正解は 2 です。

図Ⅰのように， 6 個のLED 電球が取り付けられているパネルが3 枚ある。スイッチを入れると6 個のLED 電球のうち，パネル1 では1 個が，パネル2 では2 個が，パネル3 では3 個がそれぞれ無作為に点灯することが分かっている。

いま，各パネルの点灯状態によって数字を割り当てることとして，図Ⅱのように，各パネルの点灯状態と0 ～ 9 の数字を対応させる。

このとき，スイッチを入れ，パネル1 ，パネル2 ，パネル3を点灯させると， 3 枚全てのパネルに数字が割り当てられて3 桁の数となり，かつ， 3 の倍数となる確率はいくらか。

ただし， 3 枚のパネルの並び順は図Ⅰの状態で固定し，パネルを裏返したり，回転させたりしないものとする。また，各パネルは，図Ⅱに示した点灯状態以外の場合は，数字の割当てがなかったものとする。

1 1/120
2 1/180
3 1/240
4 1/300
5 1/360

　解 説　　　　　

３桁の数になるためには、まず、パネル１で図Ⅱにおける「１」に対応するように、左上が点灯しなければなりません。この確率は、1/6 です。

次に、パネル２で２個点灯した時に、数値が対応するのは、図Ⅱより「２」、「３」、「５」、「９」の４つです。６つの電球のうち２つを点灯する全ての通りは ₆C₂ = 15 通りです。従って、それぞれの数値に対応する電球が点灯する確率が 1/15 です。

「12?」という３桁の数値で、3 の倍数になるためには、１桁目が 0,3,6,9 である必要があります。３つの電球の点灯と対応する数値が存在するのは「０」か「６」です。この確率は、６つの電球のうち３つを点灯する全ての通りが ₆C₃ = 20 通りです。よって、０か６に対応する電球が点灯する確率は 2/20 です。

同様に考えていくと

• 「13?」→１桁目は「8」のみ→1/20
• 「15?」→１桁目は「０」か「６」→2/20
• 「19?」→１桁目は「8」のみ→1/20　とわかります。

以上より、もとめる確率は

1/6 × 1/15 × (2/20 + 1/20 + 2/20 + 1/20)
= 1/6 × 1/15 × 6/20
= 6/1800
= 1/300

です。よって、正解は 4 です。

図のように，縦24 cm，横32 cmの長方形ABCD を対角線BD で折って，点Cの移った点を点C’ とする。辺AD と辺BC’ の交点を点P としたとき，線分AP の長さはいくらか。

１ 6cm
２ 4√3 cm
３ 7 cm
４ 8 cm
５ 5√3 cm

　解 説　　　　　

AP = x cm  とおいて辺の長さを書き込んでみると以下のようになります。

ポイントは、折っているので等しい長さに注目すると CD = C’D = 24cm です。△APB と△C’PD は合同です。直角三角形で一辺の長さと、他の一つの角（∠B が対頂角）で等しいからです。

△C’PD に注目して三平方の定理より 24² + x² = (32-x)² です。展開して整理すれば 64x = 448 ∴ x = 7 です。以上より、正解は 3 です。

ちなみに、本問では不要ですが、BD は 40 cm です。これは三平方の定理（BD² = 24²+32²）でもよいし、直角三角形の辺のよくある比のうちの一つである３：４：５で求めることができます。