ある書店にはＡ～Ｇの７人が毎日２人ずつ交替で勤務している。ある週(日曜日～土曜日)の勤務状況等について次のことが分かっているとき確実にいえるのはどれか。

○ どの人も２日ずつ勤務したがいずれの日も勤務した２人の組合せは異なっていた。
○ ＡとＦの組合せの日があった。
○ １日だけ女性どうしの組合せがありそれ以外は男女の組合せであった。
○ Ｂは男性でありＤ Ｅ Ｇは女性である。
○ Ｃは火曜日にＤは木曜日にＧは金曜日に勤務した。またＦは土曜日に勤務しなかった。
○ Ａ Ｅは共に中４日おいて勤務した。またＦ Ｇは中２日おいて勤務した。
○ ２日続けて勤務したのはＢのみだった。

1. Ａは男性である。
2. Ｂは月曜日に勤務した。
3. ＣとＤの組合せの日があった。
4. Ｅは日曜日に勤務した。
5. Ｆは男性である。

　解 説　　　　　

• 「Ｂは男性であり、Ｄ Ｅ Ｇは女性」
• 「Ｃは火、Ｄは木、Ｇは金。Ｆは土☓」
• 「FG は中２日」

から、以下のように表を埋めることができます。
※問題文より「毎日２人ずつ」かつ「どの人も２人ずつ」なので、◯が２つ縦か横に揃うと、縦や横に一気に☓をつけれる点に注意します。

F の「中２日」を満たすためには、「日ー水」か「月ー木」しかありません。

もしも F が「月ー木」とすると、木曜日に D とのシフトに入るため、「A と F の組み合わせの日があった」という条件を満たすために Aと組めるのは、月曜日だけになります。「A と E は中４日」なので、A は月ー土 で確定します。もう１人の中４日である E は、日ー金曜日となります。

すると以下のように表がほぼ埋まり、この時点で「B は 2日連続」という条件が満たされなくなります。

従って、 F は 日ー水 です。改めて表を考えてみれば

以上のように埋まります。C,D は確定しません。ちなみに、F は女とわかります。なぜなら、B（男）と水曜日に一緒にシフトに入っていて、「１日だけ女性どうし or 男女の組み合わせ」だからです。F を男とすると、男同士のシフトになってしまいます。

選択肢 を検討すると

選択肢 1 ですが、A がもし女だとすると、金曜日の G とのシフトが唯一の女性同士となるので、F は男となります。しかしそうすると、水曜日に B と F が「男同士」のシフトになってしまい、矛盾が生じます。従って、確かに A は男性です。正解 は 1 です。

ちなみに選択肢 2 ですが、 B は水・木勤務です。 月曜日ではありません。

選択肢 3 ですが、C,D は一緒に入りません。

選択肢 4 ですが、 E は月、土です。日曜日ではありません。

選択肢 5 ですが、F は女性です。男性ではありません。

Ａ～Ｅの五つの学校がある吹奏楽コンクールに出場する。各校の前半(課題曲)及び後半(自由曲)の演奏順について次のことが分かっているとき後半の演奏順について確実にいえるのはどれか。

ただしこのコンクールに出場するのはＡ～Ｅの五校のみである。

○ 前半の演奏順はＡが１番目Ｂが２番目Ｃが３番目Ｄが４番目Ｅが５番目である。
○ 前半の演奏順と後半の演奏順が同一である学校はない。
○ 各校とも後半は前半と同じ学校の直後に演奏することはない。(例えば後半はＢ→Ｃという順序はない。)

1. Ａが５番目のときＢ～Ｅのいずれもが１番目になることがあり得る。
2. Ｂが３番目のとき４番目は必ずＡである。
3. Ｃが２番目のとき３番目は必ずＢ又はＥである。
4. Ｄが１番目のとき５番目は必ずＡ又はＢである。
5. Ｅの直後がＤのとき１番目は必ずＢ又はＣである。

　解 説　　　　　

選択肢 1 ですが B,C,D は 1 番目になりえます。しかし、E は無理です。従って、選択肢 1 は誤りです。

【B,C,D が 1番目になる例】

• B → E → D → C → A があります。
• C → E → D → B → A があります。
• D → C → E → B → A と D → C → B → E → A があります。

【E が 1 番目と仮定すると】

• E→ ? → ? → ? → A とすると、2 番目は B ではだめなので、C か D が入ります。
• E→C→？→？→A　とすると、４番めに D が無理だし、C の次に D もダメです。
• E→D →？→？→A　とすると、３番めに C がだめなので 4 番目に C が確定なのですが、残りが B なのでB→Cのつながりができてしまいます。よって、E が 1 番目になることはありません。

選択肢 2 ですが、 B が 3 番目とすると、？→？→B→？→？　です。 A は 1,2 番目ではありません。５番目に A を入れてみると「D → C → B → E → A」がありえます。よって、選択肢 2 は誤りです。

選択肢 3 ですが、C が 2 番目とすると、？ → C → ？ → ？ → ? です。すると、3 番目は D ではありません。そこで A を入れてみると「D → C → A → E → B」がありえます。よって、選択肢 3 は誤りです。

選択肢 4 は、正しい記述です。

D → ？→？→ ？→？ として、5 番目は E ではないので、A,B,C のどれかです。 C とすると、D  → ？→？→ ？→ C です。すると、３番目が B と確定します。残りに A,E はどうやっても入りません。従って、5 番目は確かに A or B と確定します。

選択肢 5 ですが、「E→D→B→C→A」がありえます。よって、選択肢 5 は誤りです。

以上より、正解は 4 です。

ある楽団が表のように毎日１回１週間連続して演奏会を開いた。

演奏会に行ったＡ～Ｅの５人について次のことが分かっているとき確実にいえるのはどれか。なお５人の中に演奏会の途中で入・退場した者はなくいずれの演奏会でもアンコールはなかった。

○ ５人が行った演奏会の回数は、それぞれ異なっていた。
○ 昼の演奏会に行ったのは、両日ともＡ及びＢの２人のみであった。
○ C は３日連続して演奏会に行き、その他の日は行かなかった。
○ 火曜日と木曜日の演奏会に行ったのは同じ３人であり、そのうちの１人はＥであった。
○ ５人が演奏会で聴いた作品の数は多い者から順に、38,34,10,５,１であった。
○ 入場料金の合計額は多い順に、19,000円、13,000円、8,000円であった。入場料金の合計額が同額であった者が２組ありそのうちの１組はＤとＥであった。

1. Ａは合奏協奏曲を聴いた。
2. Ｂは昼の演奏会のみに行った。
3. Ｃは交響曲を聴いた。
4. Ｄは室内楽を聴いた。
5. Ｅはオラトリオを聴いた。

　解 説　　　　　

演奏会で聴いた作品の数「１」がいます。表より、月曜か金曜のみ聴いた人とわかります。さらに、入場料の合計額が最低でも 8000 円です。従って、「金曜日の夜のオラトリオだけ聴いた人が１人いる」とわかります。

この一人は A,B ではありません。なぜなら、A,B は「昼の演奏会に行った」とあるからです。昼の演奏会とは、土・日の演奏会です。さらに、C は３日連続して演奏会に行ったとあるため、この一人は C でもありません。

E でもありません。なぜなら、火曜日と木曜日の演奏会に行った 3 人のうち１人とあるからです。以上より、D は金曜日のオラトリオだけを聴いたとわかります。

次に「E の入場料金は D と同じ」なので 「8000 円」です。しかも、昼の演奏会に行ったのは A と B のみなので、入場料金を見ると、E は火・木のみ演奏会に行ったとわかります。

作品数が３番めに多い 10 作品であるのは、C と考えられます。なぜなら、作品数 25 のポルカとワルツを聞かなければ、他の作品数を全て足しても 34 には届きません。そして、ポルカとワルツは日曜日の昼演奏なので、聴いたとすれば A or B だからです。

３日連続で 作品数が 10 になるのは、火、水、木の 3 日間です。入場料金の合計も、ちょうど 13,000 円で矛盾ありません。以上より、C は火、水、木の３日間演奏会に行ったとわかります。

ここまでで選択肢を検討すると

選択肢 1 はすぐには判断できません。とばします。

選択肢 2 ですが、「昼の演奏会のみ」では、入場料金が明らかに足りません。よって誤りです。

選択肢 3 ですが、 C は火～木と確定しており、交響曲（月曜夜）は聴いていません。よって誤りです。

選択肢 4 ですが、D はオラトリオしか聴いていません。よって誤りです。

選択肢 5 ですが、E は火・木なので、オラトリオ（金曜夜）は聴いていません。よって誤りです。

以上より、正解は 1 です。

Ａ～Ｅの５人がプレゼントの交換会を行い赤青黄緑紫の５色のそれぞれ異なる色の袋を１枚ずつ使ってその中にプレゼントを入れ他の人に渡した。プレゼントについて５人が次のように述べているとき確実にいえるのはどれか。ただしプレゼントを二つ以上受け取った者はいなかった。

Ａ：「私は紫色の袋を使い黄色の袋に入ったプレゼントを受け取った。」
Ｂ：「私は青色の袋を使うことも受け取ることもなかった。」
Ｃ：「私のプレゼントはＢに渡した。また青色の袋に入ったプレゼントを受け取らなかった。」
Ｄ：「私が受け取ったのはＢのプレゼントではなかった。」
Ｅ：「私は緑色の袋を使った。」

1. ＡのプレゼントはＤが受け取った。
2. ＢのプレゼントはＡが受け取った。
3. Ｄは青色の袋に入ったプレゼントを受け取った。
4. ＥのプレゼントはＣが受け取った。
5. いずれの２人も両者の間でプレゼントを交換し合うことはなかった。

　解 説　　　　　

• 「Bが青を使っていない」
• 「C のプレゼントは B が受け取り青ではない→C は青を使っていない」
• 「Eが使用したのは緑で青ではない」

という３点から、『青を使ったのはD』と確定します。さらに、A~C は青を受け取っていないため『D のプレゼントを受け取ったのは、E』とわかります。

次に『A が受け取った黄色を送ったのは、B』です。なぜなら、Cが送ったものは B が受け取っています。D が送ったのは、青です。 E が送ったのは 緑色です。C,D,E ではないのだから、B です。ここまでを表にまとめると、以下のようになります。

選択肢を見ると、B → A が確定しているため、選択肢 2 が明らかに正解です。

ちなみに、残りの部分で C が送ったのは、残っている赤色とわかります。C→B に赤が送られたことまで確定し、C,D がそれぞれ A,E から、紫 or 緑　をもらったとわかりますが、これ以上は確定しません。そのため、選択肢1,4,5 は確実ではありません。

また、選択肢 3 は、D が青を渡しているので、D が青色を受け取ることはありません。

図のように入口が二つあり、中央に噴水①～⑥の位置にそれぞれ、滑り台、ブランコ、鉄棒、ジャングルジム、砂場、雲梯のいずれか一つが置かれた公園がある。

ある日この公園に行ったＡ～Ｆの６人が公園に着いた順番と遊んだ遊具について、次のように述べているとき確実にいえるのはどれか。

なおＡ～Ｆは公園に着いた順番と同じ順番で、それぞれ異なる遊具を１人一つのみ選び、最後の１人が遊具を選ぶまで公園を出なかった。また公園にはＡ～Ｆ以外の者はいなかった。

Ａ：「入って噴水より北の方にあるブランコで遊ぼうとしたが既に別の人が使っていたので同じく北の方のジャングルジムで遊んだ。」
Ｂ：「滑り台と鉄棒しか残っていなかったので鉄棒で遊んだ。」
Ｃ：「公園には３番目に着いた。」
Ｄ：「雲梯で遊ぼうとしたが既に別の人が使っていたので雲梯の南の方にある砂場で遊んだ。」
Ｅ：「公園には１番目に着いた。入ってすぐ右側にジャングルジムがありそのすぐ先の③にある遊具で遊んだ。」
Ｆ：「南側の入口から入るとすぐ右側に鉄棒があり既に別の人が使っていた。」

1. Ａは公園に２番目に着いた。
2. Ｂは①にある遊具で遊んだ。
3. Ｃは⑤にある遊具で遊んだ。
4. Ｄは公園に４番目に着いた。
5. Ｅは雲梯で遊んだ。

　解 説　　　　　

まず、A,E の発言より「① がジャングルジム」です。Eの発言だけだと、ジャングルジムは ➅もありえます。しかし、A の発言から、ジャングルジムは噴水より北の方とあるため、① or ②です。そして、入ってすぐ右側なので、①と決まります。さらに、A の発言より「② がブランコ」です。

次に F の発言から、「➅ が鉄棒」です。　B の発言をふまえれば『B が 5 番目に来て、鉄棒で遊んだ』ことがわかります。「５番目」というのは、残っていた遊具が 2 つしかないからです。

そして、➅が 鉄棒と決まったので、「砂場が ⑤」です。「③は雲梯」です。　

『E は１番目に来て、雲梯を選んだ』とわかります。残っている④が滑り台です。

ここまでの内容をふまえ、選択肢を検討すると「１番目に E が来て、③ の雲梯 で遊んで」います。従って、選択肢 5 が正解です。

あるアイドルグループのコンサートが札幌、東京、名古屋、大阪、福岡の五つの都市でそれぞれ１回ずつ行われそのチケットはファンクラブ会員向けに行われた開催都市ごとの抽選により当選者に限って販売される。チケットの申込みは１会場につき１人１枚までで複数の会場に申込みができる。

各都市のチケットの一般当選確率は表のとおりとなっておりまた五つの都市に居住する者は自分の居住する都市で開催されるコンサートに限り一般当選確率の２倍の確率で当選する。

いま五つの都市にそれぞれ１人ずつ住んでいるＡ～Ｅの５人の会員がチケットの申込み抽選結果等について次のように述べているとき確実にいえるのはどれか。

なお、抽選により当選する以外にチケットを入手する方法はないものとする。

Ａ：「私は自分が住んでいる都市と札幌の二つの都市のチケットを申し込み当選確率が低い方の都市のチケットを入手した。」
Ｂ：「私は当選確率が高い順に三つの都市のチケットを申し込み自分が住んでいる都市のチケットを入手した。」
Ｃ：「私は名古屋に住んでいる。」
Ｄ：「私は札幌名古屋大阪のチケットを入手したのでその三つの都市いずれのチケットも入手できなかったＡとＥから大変にうらやましがられた。しかし残念ながら最も当選確率が高い都市のチケットは入手できなかった。」
Ｅ：「私は全ての都市のチケットを申し込み自分が住んでいる都市を含む二つの都市のチケットのみ入手した。なおその二つの都市は当選確率が最も高い都市と最も低い都市であった。」

1. Ａは福岡のチケットを入手した。
2. Ｂは名古屋のチケットを申し込んだ。
3. Ｃは札幌と大阪のチケットを入手した。
4. Ｄは住んでいる都市のチケットを入手できなかった。
5. Ｅは東京に住んでいる。

　解 説　　　　　

A~Eがどこの都市に対応するかを考えます。 C が名古屋は発言からすぐにわかります。他は考える必要があります。

A 及び D の発言より、A は東京に住んでいるとわかります。「自分が住んでいる都市」は、当選確率が 2 倍です。従って、A が東京以外に住んでいるとすれば、「当選確率が低い」のは札幌です。しかし、D の発言から、A は札幌のチケットを入手していません。よって、A は東京とわかります。

次に D の発言から、E は福岡か東京の 2 択です。東京は A なので、E は福岡です。

D は札幌か大阪居住です。そこで、札幌と仮定します。すると「最も当選確率が高い都市」は、確実に札幌です。しかし、「最も当選確率が高い都市のチケットは入手できなかった」と言っているので、Dは「大阪居住」です。福岡にもチケットを申し込み、福岡のチケットは落選していると判断できます。

そして、残った札幌居住が B です。以上をふまえ、各選択肢を検討します。

選択肢 1 ですが、A が入手したのは東京です。よって、選択肢 1 は誤りです。

選択肢 2 は正解です。B は札幌、福岡、名古屋のチケットを申し込んだと考えられます。

選択肢 3 ですが、C の申し込んだチケット、及び、当選したチケットについてはわかりません。

選択肢 4 ですが、D は大阪居住で、大阪のチケットは入手しています。よって誤りです。

選択肢 5 ですが、E は福岡在住です。よって誤りです。

以上より、正解は 2 です。

図のように点B を中心に半径 √2 の扇形を反時計回りに30°回転させたとき、弧AB の通過する斜線部の領域の面積はいくらか。

　解 説　　　　　

BA,BA’ に補助線を引いて、同じ面積の部分を移動することで、結局扇形 BAA’ の面積を考えればよいとわかります。（下図参照）

扇形 BAA’ は、半径（BA）が 2、中心角 30° の扇形です。扇形は円の一部なので、面積を求める公式は『同じ半径の円の面積×中心角/360 です』。BA の長さは、直角二等辺三角形である△OAB に注目することでわかります。2 です。半径 2 の円の面積は 4π です。従って、求める面積は 4π×30/360 = 1/3 πです。

正解は 3 です。

同じ大きさの立方体 27 個を隙間なく積み重ねて右のような大きな立方体を作った。

これから小さな立方体をいくつか取り除いてできた立体を ① 及び ② の矢印の方向から見たところそれぞれ図Ⅰ及び図のようになった。

このとき残った立方体の個数として考えられる最小の個数はいくらか。ただし上部の立方体が取り除かれない限り，その真下に位置する立方体を取り除くことはできないものとする。

1. 8個
2. 10個
3. 13個
4. 16個
5. 18個

　解 説　　　　　

H26 no21 をふまえ、一段ずつ考えるとやりやすいです。

図Ⅰ、及び Ⅱ における、一番上の段の見た目を満たすためには、１段目の左上があればOKです。一番上に立方体を乗せるために、2 段目、３段目も左上は必要です。一例として、以下の図のようにまとめることができます。

次に２段目について、図Ⅰの２段目右側がすかっと抜けているので、２段目の右列は全て取り除かれていなければなりません。最小限残すと、２段目に立方体を置くためには、３段目の同じマス目にも必要な点に注意すると、一例として以下のようにすればよいとわかります。

よって最小の個数は 8 個です。正解は 1 です。

Ａはヨーロッパに旅行し価格の異なる６個の土産物を購入した。次のことが分かっているとき最も高い土産物の価格はいくらか。なお価格の単位はユーロのみでそれぞれの価格に１ユーロ未満の端数はなかったものとする。

○ 購入した土産物の総額は207ユーロであった。
○ ６個全ての土産物の価格の各桁の数字をみると１から９までの全ての数字が一つずつあり，０はなかった。
○ 10ユーロより高い土産物の中に価格の各桁の数字の和が７となるものが一つあった。
○ 最も安い土産物の価格は１ユーロでこれ以外の土産物の価格の値は全て素数であった。

1. 59ユーロ
2. 67ユーロ
3. 79ユーロ
4. 89ユーロ
5. 97ユーロ

　解 説　　　　　

価格が全て素数　かつ、１～９を全て使わなければいけない、という点が大きなポイントです。

6 個土産があって、値段に使える数値が 9 個しかないので、2 桁の価格を有することができるのは、3 個の土産です。残り 3 個は 1 桁の価格です。かつ素数ということなので、2ユーロ、5ユーロ しかありません。

残っている数値である 3,4,6,7,8,9 を眺めてみると、価格が 2 桁 かつ素数なら、１桁目は4,6,8 でありません。なぜならこれらが 1 の位であるような ２桁の数は 2 で割れるため、素数ではないからです。

つまり、 ２桁の価格の土産の 1 の位には、3,7,9 しか使えません。しかも、10 ユーロより高い土産の中に「各桁の和が 7」があったという条件があります。1 の位が 7,9 だと、各桁の和はどうしても 7 を超えてしまいます。従って、この条件を満たす土産の 1 の位は 3 です。足して 7 なので、十の位は 4 です。「43ユーロ」 とわかります。

ここまでわかった土産の値段を並べてみると1,2,5 43, 6？、8？です。選択肢を見れば、十の位が 8 であるのは 89 ユーロのみです。正解は 4 です。

自動車の故障を診断できる装置(「故障している」又は「故障していない」だけ表示される。)がありこれを故障している自動車に使用すると99％ の確率で「故障している」という正しい診断結果が出て、また故障していない自動車に使用すると１％ の確率で「故障している」という誤った診断結果が出る。

いま自動車１万台のうち100台が故障していることが分かっている。この１万台の自動車の中から無作為に１台を選び同装置を使用したところ「故障している」という診断結果が出た。このときこの自動車が実際に故障している確率はいくらか。

1. 10％
2. 33％
3. 50％
4. 90％
5. 99％

　解 説　　　　　

診断結果が「故障している」と出るのは、２パターンです。

• パターン１：実際に故障していて、故障という正しい表示が出た。
• パターン２：故障していないのに、故障という誤った表示が出た。

パターン１、２の確率は合わせると (100/10000 × 99/100) + (9900/10000 × 1/100) です。これが求めたい確率の分母です。

求めたい確率の分子は、実際に故障している場合だから、パターン１の確率です。従って、求める確率はちょっとごちゃごちゃしますが、約分すると結局 99/10000 が分子は１個、分母は 2個なので、1/2 です。

よって、正解は 50% で、3 です。