Ａ～Ｆの６人が３対３に分かれてバスケットボールの試合を行うためチーム分けをした。チーム分けの方法は６人が一斉にグー又はパーを出し出されたものが同数になるまで繰り返し同数になったとき出したものが同じ者どうしが同じチームになるものとしその結果４回目でチームが決まった。

チーム分けについて各人が次のように述べているとき確実にいえるのはどれか。

Ａ：「３回目まで毎回少数派であった。最終的にはＤと同じチームになった。」
Ｂ：「２回目以降はその前の回と異なるものを出した。最終的にはＥと同じチームになった。」
Ｃ：「３回目まで毎回多数派であった。」
Ｄ：「３回目まで毎回同じものを出し４回目はこれまでと異なるものを出した。」
Ｅ：「２回目で私と同じものを出した者は私以外に３人いた。」
Ｆ：「２回目以降はその前の回で少数派であったものを出した。」

1. ＡとＥが同じものを出した回はなかった。
2. ＣとＦが同じものを出した回は３回あった。
3. ４回とも同じものを出した者は１人いた。
4. １回目は多数派５人と少数派１人に分かれた。
5. ３回目は多数派５人と少数派１人に分かれた。

　解 説　　　　　

いわゆるグッパーでのチーム分けです。A~Fのどの発言を見ても、誰が何回目にグー or パーを出したと確定できる発言はありません。

そこで、１つ確定すると一気に 1~4回目が確定する点に注目して、Dが１～３回目までで出していたものをとりあえずグーと仮定します。Dはグー、グー、グー、パーと出したと仮定するということです。

すると、最終的に D と同じチームになった 「A」 の「４回め」は パー、「B,E」の「４回め」は グーと確定します。さらに B の「ずっと前の回と異なるものを出していた」という発言から、「B は パー、グー、パー、グー」と出したと決まります。ここまでを表にまとめると以下のようになります。

多数派や少数派という発言があったため、グーが既に２人確定している 2回目に注目します。A は 3回目まで少数派であった→２回目も少数派ということから、パーが確定します。また、Cは多数派なので、この時点で グーと確定します。

さらに、２回目に E と同じものを出した者が３人いるのだから、E も多数派、つまりグー です。残った F はパーを出しています。そして、F の発言から、３回目の F が出したのは ２回目の少数派であるパーです。表に追加すると、以下のようになります。

３回目も、２回目と同様に、A は少数派なので、グーです。Cは多数派なので、パーです。残った E はパーでなければ、３回目でグループ分けが決まってしまいます。３回目の少数派が グーなので、４回目のF はグー、残った ４回目の C はパーです。

最後に、少し見つけにくい所かもしれませんが、２回目にFがパーを出しているため、１回目の少数派はパーです。従って、１回目の A は少数派なのでパー、Cは多数派なので、グーです。パーが少数派となるには、残りのE,Fはグーでなければいけません。以下のように確定します。

以上より、選択肢を検討すると、選択肢 1 が正しいです。

A と E は常に違う手を出しています。正解は 1 です。

ある地域における世帯の年収と住居の状況について次のことが分かっているとき確実にいえるのはどれか。

• 年収が500万円以上である世帯数は82世帯、500万円未満である世帯数は56世帯である。
  
• 住居の広さが70平米以上である世帯数は70世帯、70平米未満である世帯数は68世帯である。
  
• 年収が500万円未満で住居の広さが70平米未満である世帯のうち、持家である世帯数は、持家でない世帯数より３世帯多い。
  
• 年収500万円未満の持家でない世帯で、住居の広さが70平米以上である世帯数は12世帯である。
  
• 年収が500万円未満で持家である世帯数は25世帯である。
  
• 年収500万円以上の持家でない世帯のうち住居の広さが70平米未満である世帯数は17世帯で70平米以上である世帯数より９世帯少ない。

1. 持家である世帯数と持家でない世帯数の差は６世帯である。
2. 住居の広さが70平米以上で年収500万円以上の持家でない世帯数は29世帯である。
3. 住居の広さが70平米以上で年収500万円未満の持家である世帯数は12世帯である。
4. 住居の広さが70平米以上の世帯のうち年収500万円未満で持家である世帯数は年収500万円以上で持家である世帯数のちょうど10分の１である。
5. 年収500万円以上で持家である世帯のうち住居の広さが70平米以上の世帯数は70平米未満の世帯数より19世帯多い。

　解 説　　　　　

• １：年収 500 万円以上、未満
  
• ２：70m2 以上、未満
  
• ３：持家 or そうでないか

という３つの条件による分類なので、ベン図で条件を整理し、式をいじくって考えます。ベン図を書く時、 h の部分を忘れないように気をつけます。

条件を１つ１つ式に直すと

・「500万↑ 82、500万↓ 56」 は
a + d + e + g = 82, b + c + f + h = 56 です。

・「70m²↑ 70、70m²↓ 68」は
b + d + f + g = 70, a + c + e + h = 68 です。

・「500万↓ かつ 70m²↓ のうち、持家が、持家でないより 3 多い」
c = h+3 です。

・「500万↓ かつ 持家でない、で、70m²↑ が 12」
b = 12 です。

・「500万↓ かつ 持家、25」
c + f = 25 です。

・「500万↑ かつ 持家でないのうち、70m²↓が17、70m²↑ よりも９少ない」
a = 17,d = 26 です。

a,b,c,d,e,f,g,h のうち、a,b,d はわかっています。後は式を解いていけばいいのですが、一例として以下のように解くことができます。

c = h+3 と c + f = 25 より、代入することで f + h = 22 とわかります。

すると b+c+f+h = 56 という式より、b = 12,f+h = 22 から、c = 22 とわかります。
c がわかると f = 3,h = 19 です。

a,b,c,d,f,h がわかったので、例えば b+d+f+g = 70 に b = 12,d = 26,f = 3 を代入して、g = 29 です。すると e = 10 とわかります。

まとめると

a = 17,b = 12,c = 22,d = 26、e = 10,f = 3,g = 29,h = 19 です。

選択肢を a~h を用いて書き直すと

• 選択肢 1：c+e+g+g と a+b+d+h の差は 6 ?
  
• 選択肢 2 ：d = 29 ?
  
• 選択肢 3 ：f = 12 ?
  
• 選択肢 4：f = g×10 ?
  
• 選択肢 5 ：g = e+19 ?　です。

選択肢を１つずつ確認すれば、正解は 5 です。

碁石を使って次のような操作を行うことを考える。

① 正方形の枠に沿って枠内に碁石を並べる。(並べた碁石の内側には碁石を置かない。)

② 並べた碁石の四つの辺のうち左側の一辺を残して碁石を取り除き取り除いた碁石を残した一辺の右側にそろえて並べていく。一辺の数に満たない数の碁石が残った場合、残した一辺の右側に下からそろえて並べこれを最後の列の碁石とする。

以上の操作を例えば一辺に５個の碁石を用いて行うと下図のようになる。

Ａ Ｂ Ｃの３人がそれぞれ操作を行った結果、人が使用した碁石の総数は96個となり、最後の列の碁石の個数を見るとＡは５個Ｂは３個となった。このときＣが並べた正方形の一辺当たりの碁石の個数はいくつか。

1. 8個
2. 9個
3. 10個
4. 11個
5. 12個

　解 説　　　　　

わけのわからないパターンなので、具体的に考えます。一辺５個の場合を図で与えてくれているので、図を見て考えると、操作①では、５×５の碁石から、３×３の碁石を取り除いていると考えることができます。

従って、１辺に n 個の碁石を用いたとすると n² ー (n－２)² = 4n ー 4 個の碁石を操作①で使っています。

操作 ② では、 n 個ずつ並べているので、「n で割った余り」が最後の列の碁石になっています。後は、具体的に n に数値を代入していけば、見通しが立ちそうです。

n = 3 → 碁石 8 個使って、最後の列の碁石 は 2個です。n = 4 → 碁石 １２個使って、最後の列の碁石は ４個です。これらは、A、Bの用いた碁石の個数ではありません。

n = 6 以降を引き続き具体的に考えてみると

• n = 6 → 20 個の碁石を使い、最後の列の碁石は 2個で、ダメ。
  
• n = 7 → 24 個の碁石を使い、最後の列の碁石は 3 個。これは B か？
  
• n = 8 → 28 個の碁石を使い、最後の列の碁石は 4 個。ダメ。
  
• n = 9 → 32 個の碁石を使い、最後の列の碁石は 5 個。これは A か ?

仮に B が 24個、A が 32個の碁石を使ったとすると、総数 96 個であれば、残りは 40 個です。4n ー 4 = 40 → n = 11 となります。選択肢から、C の一辺は 8~12 なので、妥当です。

以上より、正解は 4 です。

赤色、青色、黄色の包装紙に包まれたチョコレートがそれぞれ１個計３個と、同様に各色の包装紙に包まれたクッキーがそれぞれ１個、計３個、合計６個のお菓子が袋の中に入っている。

この袋からお菓子を二つ取り出し、そのうち好きな一つを手元に残して、もう一つを袋に戻すことを、Ａ～Ｅの５名がこの順序で行った。次のことが分かっているとき確実にいえるのはどれか。

○ Ａが取り出したお菓子は二つともチョコレートであり袋に戻したお菓子の包装紙は赤色であった。
○ Ｂが手元に残したお菓子の包装紙はＡが手元に残したお菓子の包装紙と同じ色でありＢが袋に戻したお菓子の包装紙は赤色であった。
○ Ｃが袋に戻したお菓子の包装紙は青色であった。
○ Ｄが取り出したお菓子の包装紙は二つとも赤色であった。
○ Ｅが取り出したお菓子は二つともクッキーであった。

1. Ａが手元に残したお菓子の包装紙は青色であった。
2. Ｂが袋に戻したお菓子はチョコレートであった。
3. Ｃが手元に残したお菓子の包装紙の色とＤが手元に残したお菓子の包装紙の色は異なっていた。
4. Ｄがお菓子を二つ取り出した後袋の中に残ったお菓子はチョコレートであった。
5. Ｅが袋に戻したお菓子の包装紙とＣが手元に残したお菓子の包装紙は同じ色であった。

　解 説　　　　　

上図のような袋があるということです。中のお菓子を「赤チ、赤ク、青チ、青ク、黄チ、黄ク」と名前をつけます。以下、条件を順番に検討します。

初めに A が取ったのが「両方チョコ」かつ、袋に 赤チ を戻したので、手元は 青チ or 黄チ　です。次に、B が手元に残した色は、Aと同じです。さらに、C が袋に青を戻しています。すると、Aの手元は黄チでなくてはなりません。

なぜなら、A の手元がもし青チだと、Bも青を手元に残したのだから、Bは青クを手元に残します。この時点で、袋の中に青はなくなります。すると C が袋に青を戻すのは不可能です。従って、A の手元は黄チです。その結果、B の手元は 黄ク とわかります。この時点で、袋の中に黄色はなくなりました。

Cは ２つ取って、青を戻したとあります。もしも「赤チ or 赤ク、青」と取っていて、赤チ or 赤クを手元に戻したとすると、次の D が赤チ、赤クを取り出すことができません。従って、 C が取り出したのは、青チ、青クです。さらに、Eが 2つクッキーを取り出していることから、戻したのは青ク　とわかります。

次に、Dが赤 2 つを取り出しています。つまり、赤チと赤クです。

その次に E が２つクッキーを取り出していることから、D が手元に残したのは、赤チです。なぜなら、もしも D が赤クを手元に残すと、袋の中にクッキーが１個（青ク）しか残らないからです。

以上より

• A は、「赤チ、黄チ」　を取り出し、「手元に黄チ」　を残した。
  
• B は、「赤チ or 赤ク　と　黄ク」　を取り出し、「手元に黄ク」　を残した。
  
• C は、「青チ、青ク」　を取り出し、「手元に青チ」　を残した。
  
• D は、「赤チ、赤ク」　を取り出し、「手元に赤チ」　を残した。
  
• E は、「赤ク、青ク」　を取り出し、「どちらかを手元」に残した。　という所まで

が確定します。

以下、選択肢を検討します。

選択肢 1 ですが、A の手元の色は黄色です。誤りです。

選択肢 2 ですが、 B がチョコレートを戻したかはわかりません。

選択肢 3 は、正しい記述です。　従って、正解は 3 です。

正解が見つかったので、選択肢 4,5 は見なくてOKです。一応確認すると、選択肢 4 は誤りです。選択肢 5 は確定しません。

ある国にはＡ島～Ｅ島の五つの島がありこれらの島は空路で結ばれている。各島の位置と空路の概略は図のとおりで各島間の交通事情について次のことが分かっているとき確実にいえるのはどれか。なお各島間の交通手段は航空機のみである。

○ Ａ島とＢ島は直行便で結ばれている。
○ Ａ島からＤ島への直行便はない。
○ Ｂ島からＤ島への直行便はない。
○ Ｂ島からＥ島への直行便はない。

1. Ａ島からは二つの島にのみ直行便で行くことができる。
2. Ｂ島からＣ島への直行便はない。
3. Ｃ島からＥ島への直行便はない。
4. Ｄ島からＥ島への直行便はない。
5. Ｅ島からは三つの島にのみ直行便で行くことができる。

　解 説　　　　　

島１～島５と、以下のように名付けます。矢印が何本結ばれているか数値で表しています。

「A→D」がない　という条件から、島１は A ではありません。さらに「B → D」もない　という条件から、島１は B でもありません。

D島に注目すると、直行便の可能性として、 残りは D→C、D→E しかありません。つまり、最高でも 2 つしか矢印が出ていないとわかります。よって、島２ or 島 5 が D です。同様に考えれば、B →D、B→Eがないので、B→A、B→C　と、最高でも ２つしか矢印が出ないから、島２ or 島５が B です。

さらに島１は、E ではありません。なぜなら、島１が E とすると、全ての島に直行便があるので「E→B」が存在します。すると、B→Eも存在することになってしまうため、条件に反します。

以上より、島１は A,B,D,E ではないため、C島 と確定します。

選択肢を検討すると

選択肢 1 ですが、２つの島のみ直行便で行けるのは、島２ or 島５です。これらは 島B or 島D です。よって誤りです。

選択肢 2 ですが、島１が C と確定したので、C→Bが存在します。よって、B→Cも存在します。誤りです。

選択肢 3 も同様に、島１が C なので、C→E が存在します。誤りです。

選択肢 4 ですが、D島から、一つは C島です。後一つは確定しません。

選択肢 5 は確実です。E島は、島３ or 島４です。どちらにせよ、矢印は 3 つ出ています。

以上より、正解は 5 です。

Ａ～Ｉの９人が総当たりでバドミントン(シングルス)のリーグ戦を行った。このリーグ戦は９日間で行われ、各日とも試合がない者が１人いた。表は前回のリーグ戦の順位と、今回のリーグ戦の７日目までの各参加者の勝敗及び８日目と９日目の対戦相手を示したものである。

今回のリーグ戦では勝ち数が多い順に順位を付け、勝ち数が同じ者の順位については前回のリーグ戦の順位が高い者を上位とすることにしたところ、最終順位はＡが１位、Ｂが２位、Ｃが５位、Ｄが最下位という結果となった。

今回のリーグ戦の勝敗や順位について確実にいえるのはどれか。ただし引き分けの試合はなかった。

1. Ａは６勝２敗であった。
2. ＢはＨに敗れた。
3. Ｅは４勝４敗であった。
4. Ｇは８日目と９日目のどちらかに敗れた。
5. Ｉは３位であった。

　解 説　　　　　

D が最下位 になるためには、８日目、９日目に 1勝もできません。なぜなら、１勝してしまうと、３勝５敗になり、どうしても G よりも上の順位になってしまうからです。さらに、G は２勝しなければなりません。（Aに 9 日目で G は奇跡の勝利を上げる、ということが確定します！）

そうすると、Aは 8 日目の D には絶対に勝利しています。もしも D に負けてしまうと、G にも負けることになっているため、H や I が既に５勝しており、A が 1 位になれないからです。さらに、A が ５勝３敗で 1 位なので、H や I はもう１勝もしていません。

ここまでのわかった勝敗を表に書き込むと、以下のようになります。

ここまでで、選択肢 1,2,4 は明らかに誤りです。さらに、 B が２位なので、 ５勝３敗が最低でも４人いることなり、I は前回のリーグ戦で最下位なので、３位には絶対になれません。以上より、選択肢 5 も誤りです。正解は 3 です。

一応、残りを確定させるのであれば、 B が２位なので、B-EでEが勝っており、Cが５位にならなければいけないので、C は E に勝利する必要があります。従って、最終的に以下のように確定し、E は確かに 4 勝４敗です。

図のように正方形の紙を次のａ ｂのように折った後ｃのように破線部分で切り取り残った図形ｄを展開したものとして最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

折って切ったら、線対称であることに注意して、折った部分を開いた絵を書けば正解がわかります。

b の図に切り取り線を書き込み、折り目を対称軸として開いた絵が以下になります。

選択肢 に、 a の折り目の補助線を引いてみると、正解は 2 とわかります。

図のように一辺の長さが１の立方体 ABCDEFGH とその辺の上を動く点Ｐ Ｑ Ｒを考える。

今３点Ｐ Ｑ Ｒは時刻０において、頂点Ａを同時に出発しいずれも毎秒１の速さで、ＰはＡ→Ｂ→Ｃ→Ｇ、ＱはＡ→Ｄ→Ｈ→Ｇ 、ＲはＡ→Ｅ→Ｆ→Ｇの経路で移動して，３秒後に頂点Ｇで停止するとする。(P′ Q′ R′はそれぞれＰ Ｑ Ｒが頂点Ａを出発してから1.5秒後における位置を示している。)

時刻 x において３点Ｐ Ｑ Ｒを通る平面でこの立方体を切断したときの断面積をS (x) とおくとき y = S (x) のグラフを表しているものとして最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

まず、0~1 秒後までを具体的に考えると、三角形が どんどん大きくなっていきます。例えば、0.1 秒後と、0.2 秒後　を考えれば、「底辺　も　高さ　も２倍になる」と考えられます。この時、面積は「時間の２乗に比例する」とわかります。であれば、グラフの出だしは「曲線」になるはずです。従って、選択肢 1,4 は誤りです。

さらに、2~3 秒後までを具体的に考えれば、これは 0~1 秒後の真逆 です。であれば、グラフの出だしと終わりは、対称的でなければなりません。よって、選択肢 2,3 は誤りです。以上より、正解は 5 です。

Ａ～Ｄの４人がある作業を、Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ…の順に10分交代で１人ずつ行ったところ、２巡目の最後にＤが４分作業を行ったところで作業が全て終了した。同じ作業をＢ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ…の順に10分交代で１人ずつ行ったところ、Ａから作業を始めたときに比べ５分短い時間で作業が全て終了した。

同様にＣ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ…の順に10分交代で１人ずつ行ったところ、Ａから作業を始めたときに比べ３分長い時間で作業が全て終了した。この作業をＣだけで行ったところ、Ａから作業を始めたときに比べ10分長い時間で作業が全て終了した。

このときＡとＤが同時にこの作業を行うと、作業が全て終了するのに要する時間はいくらか。なお４人の時間当たり作業量はそれぞれ常に一定である。

1. 44分
2. 48分
3. 52分
4. 56分
5. 60分

　解 説　　　　　

全仕事を１とします。問題文を整理すると

1. 「A が 20分、B が 20 分、C が 20 分、D が 14 分　で、仕事１が終わる。」
   
2. 「A が 10分、B が 20 分、C が 20 分、D が 19 分　で、仕事１が終わる。」
   
3. 「A が 20分、B が 17 分、C が 20 分、D が 20 分　で、仕事１が終わる。」
   
4. 「C のみで 84 分で、仕事１が終わる」

です。

１と２を照らし合わせて見ると、A の 10 分の仕事量が、D の 5 分の仕事量とわかります。また、１と３を照らし合わせて見ると、B の３分の仕事量が、D の 6 分の仕事量とわかります。

従って、 A が一番 一分あたりで仕事していないので、これを x とおきます。するとD は一分あたり 2x 、 B は一分あたり 4x の仕事をしているといえます。そして、４より、 C は毎分 1/84 の仕事をしています。

以上をふまえ、１を x を用いて表せば 20x ＋ 20×(4x) + 20 × 1/84 + 14 × (2x) = 1 です。整理すると 128x = 64/84 です。従って、x = 1/(84×2) = 1/168 とわかります。

x = 1/168 なので、A~Dはそれぞれ一分あたり

• A：1/168
• B：4/168
• C：2/168
• D：2/168

の仕事をしています。AとD が同時に作業をすると、一分あたり 3/168 = 1/56 の仕事なので、かかる時間は 56 分です。

以上より、正解は 4 です。

図Ⅰは一辺の長さが１cm の立方体 48 個を隙間なく積み重ねた立体を示したものである。図に示すとおり各立方体には番号が付いており図Ⅰの状態から立方体を１番から順に一つずつ取り除き残った立体の表面積について考える。

15番までの立方体を取り除いたときに残った立体の表面積とｎ番(ただしn ≠ 15)までの立方体を取り除いたときに残った立体の表面積が等しくなるときのｎについて確実にいえるのはどれか。

1. ｎは17のみである。
2. ｎは23のみである。
3. ｎは31のみである。
4. ｎに当てはまる全ての数値の和は40である。
5. ｎに当てはまる全ての数値の和は78である。

　解 説　　　　　

選択肢 より、 n = 17 の所がわかれば正解がかなり絞れます。

n = 17 まで取り除いた状態は、上段が完全に取り除かれて、内側の立方体が 1 個だけポコッと取り除かれた状態です。いきなりこの状態はよくわからないので、具体的に n = 1 から取り除き、表面積がどのように変化していくかを考えていきます。

n = 1 の立方体を除くと、「もともと１面だけ表面に出ていた」→「残りの５面は、他の立方体の面と接していたために見えなかった」→「５面が見えるようになる」→「－１＋５で、表面積は +4」とわかります。

以下、取り除かれる立方体の何面が表面に出ているかを追うことで、表面積がどう増減するかをまとめていくと、以下の表のようになります。

（個人的には、 n = 6 の所が見逃しやすかったです。 n = 1 の面が既に取り除かれているため、他の面と接しているのは下と n = 7 の立方体の面　の２つしかないんですが、図Ⅰを見ていると、n = 1 の立方体がまだあるような気がして、あれ、表面積全然減っていかない・・・と戸惑いました。）

１段目と２段目の表面積の増減は同じため、 n = 17 の時に加え、n = 23 の時にちょうど n = 15 の時と同じ表面積になることがわかります。そこからずっと表面積は減って、多少上がっても、n = 15 の時の表面積まではもどらないため、 n = 17,23 が題意を満たす n です。

従って、正解は 4 です。