は小数の部分が２桁ずつ繰り返している。この循環小数を分数の形で表したものとして正しいのはどれか。

　解 説　　　　　

x = 0.3434… とおきます。(循環小数の定石です。これは基礎知識）

両辺を 100 倍します。100x = 34.3434… です。辺辺引くことで、無限に続く部分同士を消すことができます。

以上より、正解は 5 です。

放物線 y = x² ＋ 3x － 2 を x 軸方向に－2、y 軸方向に 3 平行移動して得られる放物線として正しいのはどれか。

1. y = x²＋ x＋ 1
2. y = x²＋ 4x＋ 7
3. y = x²＋ 4x＋ 9
4. y = x²＋ 7x＋ 8
5. y = x²＋ 7x＋ 11

　解 説　　　　　

放物線の平行移動の問題です。図形全体を平行移動するのではなく、一点に注目して平行移動するとよいです。放物線における特徴的な一点といえば、頂点です。

y = x² ＋ 3x － 2 の頂点 の x 座標は -3/2 です。これは x² の係数を a、x の係数を b とした時、公式 x = -b/2a からわかります。または、式を平方完成し y = (x + 3/2)² – 17/4 と変形した上で、( ) の中身が 0 になる時の x の値として求めます。

x = -3/2 を代入すると、y = -17/4 です。従って、元の放物線の頂点の座標は (-3/2、-17/4) です。この点を x 軸方向に -2、y 軸方向に 3 平行移動すると (-7/2,-5/4) です。

頂点が (-7/2,-5/4) なので、平行移動した後の放物線は y = (x + 7/2)² -5/4 と表すことができます。右辺を展開すれば x² + 7x + 11 です。

ちなみに、平行移動した後の放物線の式を考えなくても、点(-7/2,-5/4)を通るような式を探すと考えて、選択肢の x に -7/2 を代入して右辺を計算し、 -5/4 になるものを探してもOKです。

以上より、正解は 5 です。

　解 説　　　　　

が基礎知識です。条件の３つ目について両辺を２乗します。以下のようになります。２つのベクトルの内積が -8 とわかります。

内積の公式より、以下のようになります。cosθ = -4/5 です。

以上より、正解は4です。

図のように地点 A から柱 PQ の先端 P の仰角を測ると 30°であった。次に柱に向かって水平に 20m 進んだ地点 B から P の仰角を測ると 60°であった。このときの柱 PQ の高さはいくらか。

　解 説　　　　　

公務員試験頻出の「90°,60°,30°」の直角三角形がポイントです。辺の比が 1：2：√3 になります。

選択肢 1 が仮に正解だとすると
PQ = 8√2cm です。⊿PQB に注目すれば、BQ の長さが 8√2/√3 となります。⊿PQA に注目すれば PQ × √3 = 8√6 = AQ のはずです。しかし AQ = AB + BQ = 20+8√2/√3 となります。8√6 と20+8√2/√3は、明らかに異なります。よって、選択肢 1 は誤りです。

以下、選択肢を代入していくと、AQ = 10√3 の時 BQ = 10。AQ = AB + BQ = 20 + 10 = 30。AQ × √3 = 30 となり、うまくいきます。

別解
BQ = x とおくと、PQ = √3x です。PQ × √3 = 3x = AQ です。そして、AQ = AB + BQ = 20 + x です。よって 20 + x = 3x ∴x = 10 →PQ = 10√3 とわかります。

以上より、正解は 4 です。

x(2x－ 1)² を x で微分したものとして正しいのはどれか。

1. 12x³－ 8x² ＋ x
2. 3x³－ 2x² ＋ x
3. 12x² － 8x ＋ 1
4. 3x² － 2x ＋ 1
5. 3x － 2

　解 説　　　　　

xを微分→1、x²を微分→2x,,,、xⁿ を微分→nx^n-1 が基礎知識です。

解法１【まず式を展開してから微分】
x(2x – 1)²
=x(4x²-4x+1)
=4x³ -4x² + x

微分すると 12x² – 8x + 1 です。

解法２【積の微分、合成関数の微分】
・積「AB」の微分は 「(Aの微分×B)＋(A×Bの微分)」です。これが知識になります。

・(2x-1)² の微分のように、xⁿ の x の所に式が入り込んでいる場合、これを合成関数といいます。合成関数を微分する時は、入り込んでいる式の微分を最後にかけなければなりません。

以上より x(2x-1)² を微分すると
１× (2x-1)² + x × 2(2x-1)×2
= (2x-1)² + 4x(2x-1)
=4x² – 4x + 1 + 8x² -4x
= 12x² -8x + 1 です。

以上より、正解は 3 です。

２次関数 f(x) が次の条件を満たすとき f(x) として正しいのはどれか。
f(0) = －3、f’(0) = －4、 f’(1) = 0　ただし f(x) の導関数を f’(x) とする。

1. 2x² － 4x － 3
2. 2x² － 3x － 4
3. x² － 4x － 3
4. x² － 3x － 4
5. x² － 3x － 3

　解 説　　　　　

導関数とは、微分した関数という意味です。

選択肢 1 が正解とします。
f(0) = -3 です。１つ目の条件はOKです。

選択肢 1 の答えを微分してみると 4x – 4 です。f’(0) = -4,f’(1) = 0 を共に満たします。全ての条件を満たします。

以上より、正解は 1 です。

定積分

はいくらか。

　解 説　　　　　

まず、数字のついてない ∫ 式 dx を計算します。これは「微分したら式になるのはなんだ？」という計算と考えればよいです。∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) が基本公式です。以下のようになります。

小さな数値の処理ですが、不定積分の結果（-x⁴/4 + x³/3 – 2x²) に対して「上の数値を代入ー下の数値を代入」すれば OK です。

x = 2 を代入すると -4 + 8/3 – 8 です。
x = -2 を代入すると -4 – 8/3 – 8 です。引き算すると 16/3 です。

以上より、正解は 5 です。

曲線 y = x³ ＋ 5x ＋ 1 と直線 y = 2x － 3、x = 0 及び x = 4 で囲まれた部分の面積を表したものとして正しいのはどれか。

　解 説　　　　　

「定積分の意味」は、 d「x」の所の x を変数として、以下のように囲まれた部分の面積を式で表したものです。

本問において、２つの式（x³ ＋ 5x ＋ 1、2x － 3）に x = 0 を代入するとそれぞれ 「1」,「-3」 です。

そして x が 0 → 4 に増えていく時、x³ を有する曲線の方が、どんどん上へ上がっていきます。つまり、絵と対応させると、上側にある f(x) が 曲線 x³ ＋ 5x ＋ 1 です。下側の g(x) が 2x － 3 です。従って、f(x) – g(x) = x³ +3x + 4 となります。

以上より、正解は 1 です。

図のようにマスを配置する。コインと１～６の目をもつサイコロを同時に投げ、コインが表の場合はサイコロの目の数だけ時計回りに１マスずつコマを進め、コインが裏の場合はサイコロの目の数だけ反時計回りに１マスずつコマを進める。

２回投げ終わったときスタートした地点にいる確率として正しいのはどれか。

　解 説　　　　　

まず具体的に考えると、イメージしやすいと思います。コインとサイコロを同時に投げ、１回め、２回め共に「表、１」が出たとします。すると、時計回りに１マスずつ、２回進みます。

時計回りに１週するには、16 マス進む必要があります。サイコロ２回では、最高 12 マスしか進めません。従って「２回投げ終わった時、スタート地点にいる」のは「コインは表、裏が１回ずつ」、「サイコロの目は同じ」場合と考えられます。

コインが表、裏と出る確率は 1/2 です。
サイコロを振って、１回目と同じ目が２回目に出る確率は 1/6 です。つまり、求める確率は 1/2 × 1/6 = 1/12 です。

以上より、正解は 4 です。

の大小関係として正しいのはどれか。

　解 説　　　　　

まず、√　を指数表現になおします。
⁵√16 = (16)^1/5、¹⁰√32 = (32)^1/10、⁷√64 = (64)^1/7 と表すことができます。

次に、16,32,64 をそれぞれ、2⁴,2⁵,2⁶ と表します。

指数法則により

です。従って、それぞれ 「2^4/5、2^1/2、2^6/7」と表すことができます。指数部分の大小関係を考えれば 「1/2 < 4/5 < 6/7 」なので 「¹⁰√32 ＜ ⁵√16 ＜ ⁷√64」 です。

以上より、正解は 3 です。