2 次方程式 x² + ax + b = 0 の二つの解にそれぞれ 3 を足すと x² + 3x – 10 = 0 の二つの解となるとき、定数 a、b の組合せとして正しいのはどれか。

　解 説　　　　　

まず、文字 a,b を含まない「x² + 3x -10 = 0」という二次方程式が、x = 2,-5 であると解けるかどうかがポイントです。式の左辺が (x – 2)(x + 5) = 0 と因数分解できるため、x = 2, -5 となります。

問題文より、x² + ax + b = 0 の 2 つの解　にそれぞれ３を足すと「2,-5」です。そのため２つの解は「-1,-8」とわかります。

解が「-1,-8」となるのだから、x² + ax + b は (x + 1)(x + 8) と因数分解できるとわかりました。(x + 1)(x + 8) を展開して、式を見比べれば a = 9, b = 8 です。

以上より、正解は 5 です。

類題 2022 no1 二次方程式
https://yaku-tik.com/koumuin/2022-gijyutu-01/

直線 y= √3x + k が円 x² + y² = 1 と共有点をもたないための定数 k の値の範囲として正しいのはどれか。

　解 説　　　　　

√3 が 「2 乗したら３になるような数」 → 1.73 ぐらいの数です。大体 y = 1.73x + k で表せる右上がり直線と、中心が (0,0) 半径 1 の円が 交わらないような k の範囲が問われています。

【解法１：連立して判別式を用いる】
共有点を求めるために、２つの式を連立させます。解くために y = √3 x + k を円の方程式に代入し、整理すると 4x² + 2√3 k x + k² -1 = 0 です。解を持つかは判別式です。判別式を D とおけば、D = (2√3k)² ー 4 × 4(k² ー 1) = -4k² + 16 となります。

解を持たないとは D < 0 なので、k < -2、k > 2 とわかります。

以上より、正解は 5 です。 

【解法２：選択肢の活用、グラフから推測】
以下のような絵を手元に書くと　k がすごく大きかったり小さかったりすれば、交わらないことはすぐわかるのではないでしょうか。※ y = 1.73x + k は「x = 0 の時に y = k」です。絵における y 軸との交点が k ということです。

このイメージから、 k がある範囲内となっている、選択肢 1,3 は誤りです。ぜひまずこの２つは誤りと選べるようになりましょう！

ここまででも十分ですが、選択肢を見ると k = 2 の時に共有点を持つかどうかがわかると、さらに選択肢をしぼれます。k = 2 としてみましょう。

できるだけ正確に図を書くと丁度接しそうだとわかるのではないでしょうか。下図のように接します。補足知識で、覚える必要ないのですが、y = √3x の傾きは、x 軸となす角がちょうど 60° です。

以上より、正解は 5 です。

図のように、円に内接する四角形 ABCD において、∠ABD = 45°、∠BDA = 35° であるとき、∠BCD はいくらか。

1． 65°
2． 70°
3． 75°
4． 80°
5． 85°

　解 説　　　　　

【円に内接する四角形に関する基礎知識】
円に内接する四角形では、向かい合う内角の和が 180° です。これが基礎知識です。ちなみにですがこの知識は「円周角が中心角の２倍である」「１周が 360°」より導かれます。

本問において、まず △ABD に注目すれば、∠ A は 180 – (35 + 45) = 100° です。そして、円に内接する四角形の基礎知識より、∠ C = 180 – 100 = 80° とわかります。

以上より、正解は 4 です。

表は、正四面体、正六面体、正八面体のそれぞれの面の数、辺の数、頂点の数、面の形を示したものである。表中の ㋐、㋑、㋒ に当てはまるものの組合せとして正しいのはどれか。

　解 説　　　　　

参考【正多面体の基礎知識】
・正多面体：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体　の５種類
・面の数は、◯面体 の ◯ と等しい。

・辺の数は　「(一面の辺の数 × 面の数) ÷ 2」
正十二面体の辺：１面は五角形なので 5 × 12 ÷ 2 = 30
正二十面体の辺：１面は三角形なので 3 × 20 ÷ 2 = 30

・頂点の数は　「(辺の数ー面の数) ＋２」
正八面体の頂点：12 ー 8 + 2 = 6
ーーー

㋐ ですが
正六面体の辺の数が問われています。立方体の見取り図を書いて数えると 12 本 です。正解は 4 or 5 です。また、これにより、㋒ が 正三角形とわかります。

㋑ ですが
正八面体の頂点の数が問われています。正八面体の見取り図を書いて数えると６個です。

以上より、正解は 4 です。

曲線 y = -x³ -3x² のグラフの概形として最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

解法１【y 軸との交点を　因数分解で求める】
y = -x³ -3x² = -x²(x+3) です。
x 軸、つまり y = 0 との交点は x = 0 と x = -3 のみとわかります。従って、 x > 0 で交わったり、 x < 0 で ２個交わっている選択肢 2 ~ 5 は誤りです。

従って、正解は 1 です。

解法２【具体的な点で考える】

・x = 0 の時 0 は全ての選択肢が通っています。

・x = 0 よりも少しだけ右に進んだ時のグラフに注目します。選択肢 2,3 は y 座標が正となっています。そこで例えば x = 0.1 の場合の y の値を計算すると、y = -(0.1)³ -3(0.1)² = -0.031 となり、負です。選択肢 2,3 は誤りです。

・x = 0 よりも少しだけ左に進んだ時のグラフに注目します。選択肢 4,5 は y 座標が負です。例えば x = – 0.1 の時、y = -(-0.1)³ -3(-0.1)² = 0.029 となり正です。選択肢 4,5 は誤りです。

以上より、正解は 1 です。

類題 H29 no5 グラフの概形
https://yaku-tik.com/koumuin/h29-gijyutu-05/

1． 3
2． 4
3． 5
4． 6
5． 7

　解 説　　　　　

(xⁿ)’ = nx^n-1 は微分の基礎知識 です。

f(x) を微分すると
f ‘ (x) = 3x² ー 6x ー 7 です。

f ‘ (-2) = 17
f ‘ (1) = -10 となります。

従って
求める値 f ‘ (-2) + f ‘ (1) = 17 + (-10) = 7 です。

以上より、正解は 5 です。

類題 H29 no6　微分係数の値
https://yaku-tik.com/koumuin/h29-gijyutu-06/

　解 説　　　　　

f ‘ (x) = (3x – 1)² = 9x² – 6x + 1 になる選択肢を見つければよいという問題です。本問は、 f (1) = 0 という条件がなくても正解がわかります。

選択肢 を順に微分していくと、以下のようになります。

不要ですが
選択肢 4 を微分すると 9x² + 6x – 1 です。
選択肢 5 を微分すると 9x² + 12x + 1 です。

以上より、正解は 3 です。

放物線 y = x² -2x+ 3、この放物線上の点（2，3）における接線 y = 2x – 1 及び直線 x = 0 で囲まれる部分の面積はいくらか。

　解 説　　　　　

【解法１：定積分による計算】
斜線部の面積は、上端が y = y = x² -2x+ 3、下端が y = 2x – 1 なので、以下のような定積分で表せます。計算すると 8/3 です。以上より、正解は 2 です。

※積分が苦手なら避けた方がよい印象です。

【解法２：選択肢を活用、概算】
以下のように概算します。

斜線部の面積は
「面積３の直角三角形から少しえぐって、少し下にはみ出し部分がある」といえます。またえぐっている部分を直角三角形とみなせば、大体面積１です。従って、面積は「３－１」よりも少し大きいため、面積２～３と概算できます。満たす選択肢は 2 です。

以上より、正解は 2 です。

類題 2022 no8 曲線で囲まれた領域の面積
https://yaku-tik.com/koumuin/2022-gijyutu-08/

4 人が 1 列に並ぶとき、特定の 2 人が隣り合う確率はいくらか。

　解 説　　　　　

確率の定義は「該当する通り/全ての通り」です。４人が１列にならぶ　全ての通り　は 4 × 3 × 2 × 1 = 24 通りです。樹形図で全てあげられるようにしておきましょう。左端が A の場合が以下の通りです。

次に該当する通りを考えます。
特定の２人（例えば AB のペア）をひとまず紐でがっちり縛って１人とみなして考えます。４人ですがある２人をがっちりしばっているので「全部で３人の並び方」と見れば ３×２×１＝6 通り、特定の２人が隣り合う場合を見つけることができます。

左端が AB、及び C の場合が以下の通りです。D の場合はぜひ考えてみてください。 

そして、縛った２人の左右は入れ替え可能なので２倍します。 「6 × 2 = 12通り」 が　該当する通り　です。求める確率は 12/24 = 1/2 です。

以上より、正解は 4 です。

類題 2022 no9 確率
https://yaku-tik.com/koumuin/2022-gijyutu-09/

第 3 項が 16、第 6 項が 128 である等比数列について、初項から第 6 項までの和はいくらか。

1．236
2．244
3．252
4．260
5．268

　解 説　　　　　

【等比数列の基礎知識】
等比数列は、同じ数ずつ数字を掛けて並べた数列のことです。同じ数を  r と書き、公比とよびます。等比数列についての公式として、初項 a、公比 r の時、n 番目の数は ar^n-1、初項から n 番目までの和は a(rⁿ – 1)/(r -1) です。

‐‐‐
第３項が 16、第６項が 128 とあるので、16 × r³ = 128 → r³ = 8 とわかります。よって、r = 2 です。これより、第２項は 8、初項が 4 です。

初項から第 6 項までの和は 4+8+16+32+64+128 なので、これは計算しましょう。252 となります。公式から 4(2⁶ -1)/(2-1)＝4 × 63 を計算して確認すると安心できると思います。

以上より、正解は 3 です。

類題 H28 no10 等比数列
https://yaku-tik.com/koumuin/h28-gijyutu-10/