sin²θ = cosθ である時

の値はいくらか。

1. 1
2. √5 －1
3. 2
4. √5
5. √5 ＋ 1

　解 説　　　　　

まず「分母が違う分数の引き算」（1/2  ー 1/3 のようなもの ）であれば分母を通分するので、本問でも分母を通分してみます。

となります。ここで「三角関数の基本公式」である
sin²θ + cos²θ = 1 を用いることで、分母の１－cos²θは 「sin²θ」 と書き換えることができます。

本問では sin²θ = cosθ なのでさらに書き換えると、2cosθ/cosθ　です。従って、約分できて、値が 2 とわかります。

以上より、正解は 「3」 です。

△ABC の辺 AB,BC,CA 上にそれぞれ点 P,Q,R をとる。AP：PB =  2：3、BQ：QC = ３：４、CR：RA = ４：５であるとき△APQ と△ARQ の面積の比はいくらか。

△APQ：△ARQ
1. １ ： ２
2. ３ ： ５
3. 12 ： 25
4. 21 ： 50
5. 27 ： 50

　解 説　　　　　

問題文の通り図を書くと、以下のようになります。

三角形の面積比に関する公式が以下になります。

これは基本的知識です。「高さが共通なので底辺の長さの比がそのまま面積比」ということです。

△ABC の面積を S とおくと、BQ：QC = ３：４より、△ABQ の面積が 3/7 S です。

次に、問われている三角形の１つである△APQ に注目します。面積比の公式より △APQ は、2/5 × △ABQ となります。さきほど △ABQ は、3/7S と出しています。代入すれば
△APQ
= 2/5 × 3/7S
= (6/35)S と表すことができます。

同様に、△ACQ の面積は 4/7 S です。
△ARQ の面積は、5/9 × △ACQ です。

従って、△ARQ
= 5/9 × 4/7 S
= (20/63)S となります。

以上より
△APQ：△ARQ
= (6/35)S ：(20/63)S

両辺の分母の最小公倍数である 315 をかければ
54S：100S
= 27：50 です。

従って、正解は 5 です。

3 次関数 f (x) = ax³+bx²+cx+7 が、x = -3、 x = 2 で極値をとり、f ’ (0) = -36 を満たすように定数 a,b,c を求める。このとき、f(x) の極小値はいくらか。

1. -17
2. -27
3. -37
4. -47
5. -57

　解 説　　　　　

「極小、極大」というキーワードがあるので、f’ (x) をまず計算し、f’(x) = 0 の時の x をまず求めます。
f’(x) = 3ax²+2bx+c です。
f’(0) = -36 とあるので、c = -36 です。

さらに、x = -3,2 で極値をとると書いてあるので
x = -3,2 で、f’(x) は 0 になります。
f’(-3) = 27a -6b -36 です。これが 0 です。

同様に
f’(2) = 12a + 4b -36 です。これも 0 です。  

連立方程式
27a – 6b -36 = 0
12a +4b -36 = 0 を解きます。
a = 2,b = 3 です。

従って
f(x) = 2x³+3x²-36x+7 とわかります。
極小値というのは、極値の中で小さい方です。f(2) と f(-3) を計算してみると
f(2) = -37
f(-3) = 88 です。

以上より、極小値は -37 です。正解は 3 です。

曲線 y = x² – 2x と x 軸で囲まれた図形をx 軸のまわりに一回転させてできる立体の体積はいくらか。

1. 16/15 π
2. 4/3 π
3. 8/5 π
4. 32/15 π
5. 38/15 π

　解 説　　　　　

y = x² – 2x のグラフは、以下のようになります。

解法 1 【積分】
x 軸周りの回転なので、「π y²を積分」します。囲まれた部分を回転なので
π ×（「上端を表す式」ー「下端を表す式」）²　を積分して計算します。以下のようになります。

以上より、体積は 16/15 πです。
よって、正解は 1 です。

解法２【大雑把な評価】
積分がきらいな人は『面積の大雑把な評価』で選択肢をしぼる　という手法をぜひ身につけておくとよいです。１つでも選択肢を切れないか考えます。面積の大雑把な評価のために求める立体に似た、簡単な図形として半径 1 の球を考えて比較します。以下の図のようなイメージです。

求める立体の体積は半径 1 の球よりも少し小さいと判断できます。半径 1 の球の体積は 4/3 π　です。（球の体積の公式は基本知識です。）選択肢 の数字は選択肢 1 からだんだん大きくなっており、選択肢 2 が 4/3 πです。従って、答えは 4/3 πよりも小さい 16/15 πと考えられます。

以上より、正解は 1 です。

(log₃x)² – log₃x – 6 = 0 の実数解を全て挙げているのはどれか。

1. 1/9,27
2. 1/27,27
3. 1/27,9
4. 1/81,27
5. 1/81,9

　解 説　　　　　

解法１
選択肢に注目すれば、解の候補は、「1/9 , 1/27 , 1/81 , 9 , 27」 の 5 つです。そこで、全て代入して考えます。

log₃(1/9) = -2
log₃(1/27) = -3
log₃(1/81) = -4
log₃9 = 2
log₃27 = 3　です。それぞれ代入すると、式の左辺は 0 , 6 , 14 , -4 , 0 です。従って、実数解は 1/9,27 です。

以上より、正解は 1 です。

解法２
log3x = X とおきます。式の左辺は X² – X – 6 と書き換えることができます。因数分解すれば（X-3）(X+2) です。従って、X = 3,-2 です。つまり、 x = 27 , 1/9 となります。

以上より、正解は 1 です。

２つのベクトル

について

が平行になるときの x の値はいくらか。

1. －１
2. －２
3. －３
4. －４
5. －５

　解 説　　　　　

ーベクトルに関する基礎知識ー
ベクトルの定数倍は、それぞれの成分を定数倍します。ベクトルの足し算や引き算は、それぞれの成分を足したり引いたりします。
ーベクトルに関する基礎知識　終ー

a＋2b、3a -b をそれぞれ計算すると、（5,-2+2x）,(1,-6-x) となります。ベクトルが「平行」　とは「定数倍」になっている　ということです。

x = -1 だと（5,-4）,(1,-5) となり定数倍ではありません。以下、同様に
x = -2 →(5,-6),(1,-4)　だめ。
x= -3→（5,-8）,(1,-3)　だめ。
x = -4→（5,-10）,(1,-2) 　OK。ちょうど５倍の関係。つまり、２つのベクトルは平行。

以上より、正解は 4 です。

次の条件によって定められる数列 {a_n} の第24項 a₂₄ の値はいくらか。

a₁ = 1
a_n+1 -a_n = 2n -1 （n = 1,2,3, ・・・）

1. 524
2. 526
3. 528
4. 530
5. 532

　解 説　　　　　

a₁ = 1 , a₂ = 1「+1」, a₃ = 1+1「+3」,,, という計算をしていくということです。足し加えていく部分だけの数字を抜き出してみると 1 + 3 + ・・・となります。

a_n+1 -a_n = 2n -1 に、n = 23 を代入して考えれば a₂₄ -a₂₃ = 45 なので「1 + 3 + ・・・43 + 45」が計算できればよい　とわかります。 地道に計算してもいいのですが、等差数列なので、頭とお尻の項（１と４５）を足して 46。数字は 23 個あるので 46 × 23/2 で足し算を計算することができます。23² =529 です。

初項が 1 なので a₂₄ = 1+529 = 530 となります。

正解は 4 です。

図のように、道路が碁盤の目のようになった街がある。地点 A から地点 B まで行く最短の道順のうち地点 P を通らないものは全部で何通りあるか。

1. 20 通り
2. 33 通り
3. 40 通り
4. 60 通り
5. 66 通り

　解 説　　　　　

『A→Bの最短経路』
A→Bの最短経路は「→→→→→↑↑↑↑」の並びを考えればよいです。矢印の数は全部で 9 本です。その中で同じ矢印が 5本と、4本あるので、並びは 9!/5!4! となります。計算すると、126 通りです。この中でA→P→Bとなるものを除けば答えがわかります。

『A→P　P→Bの最短経路』
A→Pの最短経路は「→→→↑↑」なので、並びの通りは 5!/3!2! です。計算すると、10 通りです。
P→Bの最短経路は「→→↑↑」です。 4!/2!2! を計算すると 6 通りです。

以上より、A→P→Bの経路は 10 × 6 = 60 通りです。

従って、求める経路の数は、126-60 = 66 通りとなります。

正解は 5 です。

図のフローチャートについて、x₁=8 , x₂=5 , x₃=6 , x₄=2 , x₅=6 と入力されているとき、3 番目及び 5 番目に出力される c の値の組合せとして最も妥当なのはどれか。

　3番目　5番目

1. 1　　1
2. 1　　3
3. 2　　4
4. 2　　6
5. 5　　1

　解 説　　　　　

チャートを読んでいきます。
(a,b,i) = (10,10,1)yyy
(a,b,c,i) = (10,8,2,1) → c = 2
(a,b,c,i) = (10,8,2,2)yyy
(a,b,c,i) = (8,5,3,2) → c = 3
(a,b,c,i) = (8,5,3,3)yyn
(a,b,c,i) = (6,5,1,3) → c = 1

（この時点で正解は 選択肢 1 or 2）

(a,b,c,i) = (6,5,1,4)yyy
(a,b,c,i) = (5,2,3,4) → c = 3
(a,b,c,i) = (5,2,3,5)yn
(a,b,c,i) = (5,2,3,5) → c = 3

従って
３番め及び５番目に出力される c の値は、それぞれ 1,3 です。

以上より、正解は 2 です。

図のように軽い滑車を用いて、釣合いを保ちながら質量 20kg の小物体を鉛直上向きに 1.0 m 引き上げたとき糸を引く力 F の大きさ及び F がした仕事の組合せとして最も妥当なのはどれか。

ただし重力加速度は 10m/s² とし滑車と糸との摩擦は無視できるものとする。

• F の大きさ　F がした仕事

1. 　  25N　　　　    50J
2. 　  25N　　　　  200J
3. 　  50N　　　　    50J
4. 　  50N　　　　  200J
5. 　100N　　　　  200J

　解 説　　　　　

滑車の基本知識として「地面や天井とつながっていれば定滑車」、「一本の糸にはたらく力の大きさはすべて等しい」、「動滑車は、ひもをひいた長さの半分しか動かない」

です。また、仕事は「力×距離」で求めます。ひもに働く力を、順々に考えると以下の図のようになります。

20kg の物体に働く下向きの力は重力加速度を g とすれば 20g です。つまり、200 N です。　図より200 N を 4F で引き上げているので F = 50 N です。

物体を 1m 引き上げたのであれば動滑車 2 個がつながっているのでひもは 4m 引いたはずです。50 × 4 = 200 が、F がした仕事となります。※ 滑車を使おうが何をしようが仕事は変わりません。

ちなみに、「20 kg = 200 N の力で 1m 動かしたのだから200 × 1 =  200」 と求めてもOKです。

以上より、糸を引く力 F = 50N、F がした仕事 = 200 J です。正解は 4 です。