2 次関数に関する次の記述の ㋐、㋑、㋒ に当てはまるものの組合せとして正しいのはどれか。

「y = ax² + bx + c のグラフが図のようになるとき、b は ㋐、b² – 4ac は ㋑、a – b + c は ㋒ となる。」

　解 説　　　　　

・グラフの形が上に凸 なので a < 0 です。

・頂点の x 座標である 軸は x = -b/2a です。これは基礎知識です。忘れていても 平方完成して y = a(x + b/2a)² +… と変形すれば導くことができます。

グラフから「軸の符号は 正」です。
式で書けば 「-b/2a > 0」です。a < 0 なので b > 0 です。

不等式でわかりにくければ、適当な数字で考えればよいです。
例えば a = -1 とすれば -b/-2 > 0 となる場合
b の符号は 正でなければならない　ということです。

㋐ は「正」です。正解は 1 ~ 3 です。

・頂点の座標が (-b/2a、-(b²-4ac)/4a) です。基礎知識として暗記しているか、平方完成で導きます。頂点の y 座標がグラフより 正です。a < 0 なので、b² – 4ac > 0 です。㋑ は「正」です。正解は 1 or 2 です。

・x = -1 の時、y 座標が a – b + c です。明らかにグラフより負です。㋒ は「負」です。

以上より、正解は 2 です。

【別解】具体的なグラフを見つける

上に凸なので、y = -x² を考えます。もう少し頂点が右上なので、頂点の候補として (1,1) として y =  -(x – 1)² + 1 を考えます。x = 0 の時 y = 0 になってしまうので、少し下に下げれば OK です。頂点 (1,1/2) → y = -(x – 1)² + 1/2 ＝ -x² + 2x – 1/2 が一例として見つかります。

この時、a = -1、b = 2、c = -1/2 です。

従って
b は正、b²-4ac = 4 – 2 なので 正、a – b + c = -1 -2 – 1/2 なので負です。

以上より、正解は 2 です。  

図のように、一辺の長さが 6 の立方体を一つの平面で切り取ってできた立体がある。AB = 5、CD = 4、FG = 4、HI =2 であるとき、この立体の体積はいくらか。

1． 196
2． 198
3． 200
4． 202
5． 204

　解 説　　　　　

１辺 6 の立方体の体積は 6³ = 216 です。切り取られた立体の体積を 216 から引いたものが答えです。立方体の外枠を点線で書き込むと、切り取られた立体が把握しやすいと思われます。切り取られた立体は三角錐を底面と平行に切断した三角錐台です。

△ GKH の面積は (GK × KH)/2 です。
GK = 6 – FG = 6 – 4 = 2
KH = 6 – HI = 6 – 2  = 4 なので、△ GKH の面積は 4 です。

△ BLC の面積は (BL × LC)/2 です。
BL = 6 – AB = 6 – 5 = 1
LC = 6 – CD = 6 – 4 = 2 なので、△ BLC の面積は 1 です。

△ GKH と △ BLC の面積比が 4：1 なので、相似比が 2：1 です。つまり、切り取られた図形は「大きな三角錐をちょうど真ん中で切断した錐台」であることがわかります。

大きな三角錐の体積は 4 × 12 × 1/3 = 16 です。小さな三角錐の体積は 1 × 6 × 1/3 = 2 です。錐台の体積は 大きな三角錐 ー 小さな三角錐なので 16 – 2 = 14 です。

従って
216 – 14 = 202 が求める体積です。

以上より、正解は 4 です。

xy 平面上において、曲線 y = x³ + kx² + 2x + 4 上の x = 1 の点における接線が原点を通るとき、定数 k の値はいくらか。

1．-2
2．-1
3． 0
4． 1
5． 2

　解 説　　　　　

接線が問われている → 微分　が定石です。

y = x³ + kx² + 2x + 4…(1)
y’ = 3x² + 2kx + 2 です。x = 1 を代入すれば 2k + 5 となります。この値「2k + 5」が「x = 1 における接線の傾き」です。

また、(1) に x = 1 を代入すれば、y = k + 7 です。グラフは 点 (1,k+7) を通ります。

従って
点 (1,k+7) における接線を考えると　傾きが 2k+5 である。傾き 2k + 5 である、x = 1 における接線が原点 (0,0) を通ればよいという問題です。

ここまででわかったことをグラフで表すと、以下のようにまとめることができます。

選択肢 から 具体的に考えると

k = -2
→ 接線の傾きが 1 となり、明らかに原点を通りません。

k = -1
→ 接線の傾きが 3、(1,6) なので、x = 0 の時 y = 3 です。原点通りません。

k = 0
→  接線の傾きが 5、(1,7) なので、x = 0 の時 y = 2 です。原点通りません。

k = 1
→ 接線の傾きが 7、(1,8) なので、x = 0 の時 y = 1 です。原点通りません。

選択肢 1 ~ 4 まで誤りです。

以上より、正解は 5 です。 

　解 説　　　　　

積分で解いたことがあれば、sin²x = (1-cos2x)/2 と変形して積分でよいです。知らなかった場合にも、グラフの概形を書いて、具体的に考えたい問題です。

※ π ≒ 3.14 です。
※ π(ラジアン) = 180° です。

【グラフの概形から概算】
y = sin²x とおきます。
・x = 0 の時、y = 0 です。

・x = π/4 の時、y = 1/2 です。
ちなみに、y = sinx であれば、x = π/4 の時、y = √2/2 ≒ 0.7

・x = π/2 の時、y = 1 です。

点を滑らかにつなぎグラフの概形を考えます。また、参考のため、y = sin x のグラフも書き込んでいます。

y = sin²x のグラフと x 軸で囲まれる面積を 三角形で概算すれば「底辺 π、高さ 1 の三角形」です。面積が π/2 です。

以上より、正解は 3 です。

【積分で計算】

以上より、正解は 3 です。

関数 y = -4^x+1 + 2^x+2 の最大値はいくらか。

1． 1
2． 2
3． 3
4． 4
5． 5

　解 説　　　　　

指数方程式として解いたことがあれば、2^x = X とおいて最大値を求めれば OK です。ぱっと見て解き方が浮かばなかった時は、具体的な値でグラフの概形を考えて推測するとよいです。

【解法 1：指数方程式として最大値を見つける】
y = -4^x+1 + 2^x+2
= -4 × 4^x + 4 × 2^x…(1)

2^x = X とおけば、4^x = X² なので (1) は
(1) = -4X² + 4X
= -4(X² – X)
= -4(X – 1/2)² + 1 と平方完成することで
X = 1/2 の時、最大値 1 をとるとわかります。

以上より、正解は 1 です。

【解法 2：グラフの概形を書いて推測する】

x = 0 の時、y = 0 です。
x = -1 の時、y = 1 です。
x = 1 の時、y = -8 です。

3 点結んでグラフの概形を考えます。少し形がわかりづらい印象であれば、x = -2 の時、y = 3/4 も加えるとより概形をつかみやすいと思われます。

最大値をとりそうな範囲について、もう少し具体的に
x = -1.5 の場合を考えると
y = -1/2 + √2 ≒ -0.5 + 1.4 = 0.9 < 1 です。

グラフの概形から 最大値 2 までは大きくならないようです。選択肢より最大値は 1 と推測されます。

以上より、正解は 1 です。

次のように定められた数列 {a_n}の第 50 項 a₅₀ の値はいくらか。

a₁ = -1，a_n+1 – a_n = 2n – 3　　(n = 1,2,3,…)

1． 2300
2． 2302
3． 2304
4． 2306
5． 2308

　解 説　　　　　

n = 1 を代入すると
a₂ – a₁ = -1、a₂ = a₁ – 1 = -2

n = 2 を代入すると
a₃ – a₂ = 1、a3 = a₂ + 1 = -1

n = 3 を代入すると
a₄ – a₃ = 3、a₄ = a₃ + 3 = 2

次に足すのは 5 なので a₅ = 7
次に足すのは 7 なので a₆ = 13
次に足すのは 9 なので a₇ = 22

…

このまま a₅₀ まで求めてもよい問題です。

ーーー

足していく値に注目すると
-1 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … です。最後に足すのは n = 49 を代入した 95 です。

-1 + 1 + 3 + … + 93 + 95…(1)　
は初項 -1、公差 2、項数 49 の等差数列の和です。

(1) = 94 × 49/2
= 47 × 49
= 2303 です。 

ーーー

ちなみに、規則性を見つけたらそれでも OK です。

初項 -1 で
第 2 項まで足すのは -1
第 3 項まで足すのは -1 + 1 = 0
第 4 項まで足すのは -1 + 1 + 3 = 3
第 5 項まで足すのは -1 + 1 + 3 + 5 = 8
第 6 項まで足すのは -1 + 1 + 3 + 5 + 7 = 15

…

第 n 項まで足すのは
(n – 2)² – 1 と表せる。n = 50 を代入すれば 48² -1 = 2303 となります。

求めたい
a50 = -1 + 2303 = 2302 です。

以上より、正解は 2 です。

場合の数に関する次の記述の ㋐、㋑ に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

「正六面体のサイコロは、一般に、向かい合う面の目の数の和が 7 になるように面を配置するというルールに従っている。このルールの下では、回転させると目の数の並びが同じになるものを一つの種類として数えると、図のようにサイコロの種類は 2 種類となる。

このルールを一部なくし、1 と 6 の面は向かい合う位置に残したまま、2 ～ 5 の面を自由に配置してよいとした場合、上記と同じ方法で数えると、サイコロの種類は ㋐ 種類となる。さらに、このルールを完全になくし、1 ～ 6 の面を自由に配置してよいとした場合、上記と同じ方法で数えると、サイコロの種類は ㋑ 種類となる。」

　解 説　　　　　

㋐ ですが
「1 と 6 の面は向かい合う位置に残したまま」とあるので「上下固定」です。そして 4 面に関して自由に配置していいので「向かい合う面の目の数の和が 7」というルールは無視してよいです。「回転して目の数の並びが同じになるものを一つの種類」とするので「4 つの席の円順列」と読み替えることができます。

n 個ある場合、円順列の場合の数は「(n – 1)!」です。従って、本問では (4 – 1)! = 6 通りです。㋐ は「6」です。正解は 1 or 2 です。

㋑ ですが
上下固定にも色んな場合が考えられるということになります。上下の固定は 6 個の数値から 2 個を選ぶ場合があるので ₆C₂ = 15 通りです。すると 15 × 6 = 90 通りあるように思えます。選択肢より多くなってしまいます。

ここで「1 と 6 を対面にしたもの」を考えると、対面になる場合が 3 通りあるため、90 通りの中には 3 通り同じものが含まれています。

「上下が 1 と 6」だけでなく、上下の固定で選んだ 15 通り全てに関して、3 通りずつが同じ種類になります。従って、求める通りは「90 ÷ 3」= 30 通りです。㋑ は 30 です。

以上より、正解は 1 です。

女子 2 人、男子 2 人の合計 4 人で 1 回じゃんけんをするとき、男子が 2 人とも負ける確率はいくらか。ただし、4 人はグー、チョキ、パーをそれぞれ 1/3 の確率で出すものとする。

　解 説　　　　　

男子が 2 人とも「グーで負ける確率」、「チョキで負ける確率」、「パーで負ける確率」は同じはずです。そのため、ひとまず男子が 2 人ともグーで負ける確率を考えて、その確率を 3 倍すれば答えがわかります。

女子 2 人の出す通りは 3 × 3 = 9 通りなので、全ての場合を考えてみます。

男子 2 人がグーを出す確率は 1/9 です。そして、男子 2 人がグーを出した場合に男子 2 人とも負ける確率は 3/9 とわかりました。従って、男子が 2 人とも「グーで負ける確率」は 1/9 × 3/9 = 3/81…(1) です。

求める確率は (1) の 3 倍です。
3/81 × 3 = 1/9 です。

以上より、正解は 3 です。

2 進数で表された次の計算の結果を 2 進数で表したものとして正しいのはどれか。

101010111 ÷ 111 + 11101

1． 1000101
2． 1001000
3． 1001011
4． 1001110
5． 1101110

　解 説　　　　　

【n 進数の基礎知識】
n 進数の右から１桁目は n⁰ が何個あるかを示します。以下、右から 2 桁目は n¹ が何個あるか、右から３桁目は n² が何個あるか・・・です。ちなみに、小数点以下の場合、小数点第一位は n^-1 が何個あるかを示します。以下、小数点第二位は n^-2 が何個あるか・・・を示します。

【2 進数 101010111、111、11101 の 10 進数変換】
101010111
→ 右側から 2⁰ × 1 + 2¹ × 1 + 2² × 1 + 2³ × 0 + 2⁴ × 1 + 2⁵ × 0 + 2⁶ × 1 + 2⁷ × 0 + 2⁸ × 1 =  1 + 2 + 4 + 16 + 64 + 256 = 343 です。

111
→ 右側から 2⁰ × 1 + 2¹ × 1 + 2² × 1 = 7 です。

11101
→ 右側から 2⁰ × 1 + 2¹ × 0 + 2² × 1 + 2³ × 1 + 2⁴ × 1 = 29 です。

従って
343 ÷ 7 + 29  = 78 です。後は選択肢を検討していきます。

選択肢 1 は
64 + 4 + 1 = 69 で誤りです。

選択肢 2 は
64 + 8 = 72 で誤りです。

選択肢 3 は
64 + 8 + 2 + 1 = 75 で誤りです。

選択肢 4 は
64 + 8 + 4 + 2 = 78 です。これが妥当です。

以上より、正解は 4 です。

類題 2023 高卒技術 no18
https://yaku-tik.com/koumuin/2023-gijyutu-18/

水平な地面に、長さが 1.2 m で太さが一様でない細い棒が置かれている。まず、図Ⅰのように、棒の一端 B に糸を付け、糸を鉛直上向きに引っ張ったところ、B を持ち上げるのに 24 N の力を必要とした。このとき、他端 A は地面についたままであった。

次に、図Ⅱのように、A と B の中点 C に糸を付け、糸を鉛直上向きに引っ張ったところ、C を持ち上げるのに 24 N の力を必要とした。このとき、B は地面についたままであった。A から棒の重心までの距離として最も妥当なのはどれか。

1． 0.70 m
2． 0.80 m
3． 0.90 m
4． 1.0 m
5． 1.1 m

　解 説　　　　　

太文字で強調されている「一様でない」は「重心が真ん中ではない」と読み替えればよいです。図Ⅰ、図Ⅱにおいて、真ん中ではない所に下向き mg を書き込めばよいです。

持ち上げている時は静止しています。つまり、縦の力の和 = 0、横の力の和 = 0、モーメントの和が 0 です。図Ⅰの点 A における上向きの力を R_A、図Ⅱの点 B における力を R_B とおき、点 A から重心までの距離を x とします。以下のようにまとめることができます。

X = (24 × 1.2)/mg…(1)
(1.2 – X) = (24 × 0.6)/mg…(2)

(2) の両辺を 2 倍すると
右辺が (1) の右辺と同じなので代入して
2.4 – 2X = X です。

従って、X = 0.8 とわかります。

以上より、正解は 2 です。