誘電率 ε，半径 a の誘電体球の内部に電荷密度 ρ（ρ > 0）で一様に電荷が分布している。このとき，誘電体球の中心から r（r < a）の位置における電界の大きさ E 及び分極の大きさ P として最も妥当なのはどれか。ただし，真空の誘電率を ε₀ とする。

　解 説　　　　　

半径 r で閉曲面を考えると、まず体積が、球の公式より 4πr³/3 です。電荷密度が ρ なので、内部の電荷は 「4πr³/3 × ρ」 です。ガウスの法則を使います。（参考 H25no21）

左辺は 「半径 r の 球の表面積 × E」 なので 4πr²× E です。右辺は「閉曲面中の全電荷/ε₀」 なので (4πr³/3 × ρ)/ε₀ です。∴ 4πr²E = (4πr³/3 × ρ)/ε₀ となるため、E = ρr/3ε となります。これで正解は 1 とわかります。

ちなみに
誘電体中の電界の強さは「自由電荷の作る電界 E₀ と、分極電荷が作る電界 E_P の和」です。そして、誘電体の誘電率を ε = ε₀ + χ_e とした時、分極ベクトル P = χ_eE と表すことができます。つまり P = (ε ー ε₀)E です。先程求めたE = ρr/3ε を代入すれば、 ρr/3 × (1ーε₀/ε）です。

以上より、正解は 1 です。

真空中に，無限に長い2 本の導体線が距離d を隔てて平行に置かれている。これらの導体線にそれぞれ同じ向きの電流 I を流したとき， 2 本の導体線に働く力として最も妥当なのはどれか。ただし，真空の透磁率を μ₀ とする。

　解 説　　　　　

・直線電流が作る磁場 H  = I/2πr
・電流が垂直な磁場から受ける力 F = μIHa　
→ 単位長さあたりの受ける力 にしておくと、a で割って、F = μIH

磁場 H = I/2πr を代入して、F = μl(l/2πr) です。整理して問題文に文字を合わせれば μ₀I²/2πd です。

また、右ねじの法則から、磁界の向きは左の導体線には紙面下から上向き、右の導体線には紙面上から下向き方向です。フレミングの左手の法則より、引力とわかります。（下図参照）

以上より、正解は 3 です。

図のような断面積が S の環状磁性体に巻かれた二つのコイルがある。それぞれのコイルの巻数を N1 と N2 とするとき，両者の間の相互インダクタンス M に関する記述として最も妥当なのはどれか。ただし，磁束は磁性体の外部に漏れないものとする。

1．N₁ のみを 2 倍にしたとき，M は 4 倍になる。
2．N₁ のみを 4 倍にしたとき，M は 2 倍になる。
3．N₁ を 2 倍，N₂ を 2 倍にしたとき，M は 4 倍になる。
4．S を 2 倍にしたとき，M は 4 倍になる。
5．S を 4 倍にしたとき，M は 2 倍になる。

　解 説　　　　　

インダクタンスを考える時は「ある回路に電流流れる→磁界発生→回路をどれだけ磁束が貫くかを考える」という流れが基本です。そして、環状磁性体内部であれば、磁束が漏れないから、貫く磁束が一定ということで計算が簡単になります。また、２つの回路間の相互インダクタンスについては、どちらか一方に電流を流して計算できる相互インダクタンスを計算すれば OK です。

左側をコイル１と名付け、電流 I を流す場合を考えます。アンペールの積分法則より、環状磁性体内部を一周する長さを l とおけば Bl = μN₁Ｉです。よって磁束密度 B は μN₁Ｉ/ l です。まずこれが磁束「密度」です。断面積 S だから、BS が磁束です。そして『コイル C1 を貫く全磁束』は N₁ × BS となります。

従って
『コイル１に流れる電流により生じる磁束により、コイル１が貫かれる全磁束』 を Φ₁₁ とおけば、 Φ₁₁ = N₁ × BS = N₁ × μN₁ＩS/ l と表せます。Ｉの係数が「自己インダクタンス」です。自己インダクタンスは μN₁²S/l と表すことができます。

次に
コイル１に流れる電流により生じる磁束により、コイル C₂ を貫く全磁束は N₂BS なので、N₂ × μN₁ＩS/ l です。やはりこのＩの係数に注目すれば、この係数が「相互インダクタンス」です。つまり μN₁N₂S/l が相互インダクタンスです。すると、相互インダクタンスは N₁,N₂ に比例するとわかります。また、S とも比例します。

以上より、正解は 3 です。
類題 H25no23

図のような，直流電圧源 V，抵抗線 XY 及び直流電流計 A により構成される回路で，端子 a に流れる電流 I 〔A〕の 1/3 が直流電流計A に流れた。端子 b と抵抗線 XY との接続点をP とすると，XP 間の抵抗線の抵抗値として最も妥当なのはどれか。ただし，直流電流計 A の内部抵抗の値は 6 Ω，XY 間の抵抗線の抵抗値は 12 Ω とする。

1． 2 Ω
2． 3 Ω
3． 4 Ω
4． 6 Ω
5． 8 Ω

　解 説　　　　　

XP 間の抵抗を x （Ω）とします。 PY 間は 12 – x （Ω）と表されます。以下のような回路として考えます。

キルヒホッフの電流則より、XP 方向には 2Ｉ/3 電流が流れると考えられます。つまり、電流は ２：１に分かれて流れています。回路の基本知識の一つとして並列回路において「流れる電流の比は抵抗の逆比」です。従って ２：１ ＝「6 + (12 – x)」： x となります。選択肢から x = 6 を入れると ちょうど右側も ２：１になります。

以上より、正解は 4 です。

抵抗 R とコイルと 100 V の正弦波交流電圧源を直列に接続した図Ⅰのような回路に，2.00 A の電流が流れた。75.0 Ω の抵抗を更に直列に接続した図Ⅱのような回路には，1.00 A の電流が流れた。抵抗R の抵抗値として最も妥当なのはどれか。

1. 10.0 Ω
2. 12.5 Ω
3. 25.0 Ω
4. 37.5 Ω
5. 50.0 Ω

　解 説　　　　　

抵抗を一般化したインピーダンス Z を考えます。

図Ⅰにおいて、コイルのインピーダンスは jωL です。抵抗のインピーダンスは R です。直列回路において、インピーダンス合成は、それぞれを足せば OK です。よって、図Ⅰにおいて、合成した全インピーダンスは Z = R + jωL です。そしてこれは複素数なので、インピーダンスの大きさ |Z| について |Z|²=R²+ω²L² です。V = ZI が成り立つため、 100V で 2A 流れたのなら、 Z の大きさは 50 です。従って、2500 =  R²+ω²L² です。

同様に、図Ⅱにおいて、全インピーダンスは (75+R) + jωL です。1A流れているので、この大きさが 100 とわかります。従って、10000 = (75+R)² + ω²L² です。連立して解くと以下のようになります。

以上より、正解は 2 です。

を f(t) のラプラス変換という。いま，f (t) = sinωt であるとき，そのラプラス変換として正しいのはどれか。

覚えていなかったら、定義に従い「e^-st sinωt 」を積分しますが、かなり計算が複雑なので これは知識問題ではないかと思われます。積分の指針としては、「指数関数×f(x) なので、部分積分」です。そして f(x) 部分が三角関数の場合は、まず全体をＩとでもおいて、２回部分積分をすることで元の形が出てきます。以下のようになります。

以上より、I = ω/(s² + ω²) です。正解は 4 です。
類題 H26no26

オシロスコープの水平偏向板及び垂直偏向板に振幅 E₀ の正弦波電圧をそれぞれ印加すると，図のようなリサージュ図形が観測された。このとき，水平偏向板に印加した電圧 E_X と，垂直偏向板に印加した電圧 E_Y の組合せとして最も妥当なのは次のうちではどれか。ただし，ω は定数とし，時間を t とする。

Ex、Ey
1. E₀sin3ωt　E₀sin2ωt
2. E₀sin3ωt　E₀sin4ωt
3. E₀sin4ωt　E₀sin3ωt
4. E₀sin4ωt　E₀sin5ωt
5. E₀sin5ωt　E₀sin4ωt

　解 説　　　　　

ω は定数なので、ω = 1 とするとわかりやすいと思われます。さらに E0 = 1 とすれば、結局 sin2t,sin3t,,, について考えればよいです。

選択肢 1 が正解と仮定します。
つまり、Ex = sin3t、Ey = sin2t と仮定します。t = 0 の時、Ex,Ey 共に 0 です。そして、x については t = 2π/3,4π/3,2π、、、で 0 となります。一方、y については t = π,2π,,, で 0 となります。 この時の図形は、x 方向に３回なみなみする間に、y 方向に２回なみなみして、原点で交わると考えられます。ところが、図形は原点から原点に戻るまで、以下のように、横に 4回なみなみして、縦に３回なみなみしています。

従って、sin4t,sin3t が正解です。

以上より、正解は 3 です。

図のように，一次側と二次側の巻数の比が 1：n である理想変圧器に，実効値 V の交流電圧源と抵抗値 R の抵抗を接続したところ，一次側に実効値 I の電流が流れた。このとき，実効値 V を，R 及び I を用いて表したものとして最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

理想変圧器では、巻き数の比が電圧比、巻き数の逆比が電流比です。電力(VI)は一定です。一次側の電圧を V とします。すると、二次側には nV の電圧がかかります。そして、オームの法則より I = V/R です。二次側の電流は nV/R と表すことができます。

そして、電流比は 一次側：二次側が n：１なので、二次側の電流を n 倍すれば、一次側に流れる電流がわかります。I = n²V/R です。式を変形すれば V = RI/n² です。

以上より、正解は 1 です。
類題 H26no28

半導体の pn 接合に関する次の記述の ㋐～㋔ に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

「p 型半導体とn 型半導体を接合すると，n 型半導体における接合部付近の㋐は，拡散によりp 型半導体へ移動して㋑と再結合する。一方，p 型半導体における接合部付近の㋑は，拡散によりn 型半導体へ移動して㋐と再結合する。したがって，接合部付近では，n 型半導体には㋒にイオン化したドナが残り，p 型半導体には㋓にイオン化したアクセプタが残る。これらにより，接合部には電界が生じ，熱平衡状態ではp 型半導体とn 型半導体の㋔は一致する。」

　解 説　　　　　

p は positive、n は negative の略です。㋐ですが「n 型・・・における接合部付近」なので、n 型→negative（「ー」） → 電子の方が余っている → 選択肢から「伝導電子」と選べるのではないでしょうか。そして、 n 型においては 電子がなくなってしまったので、「正」にイオン化します。

「電子がなくなったら正にイオン化する」というイメージについては、例えば Li や Na といった第一族原子が、最外殻電子を失い、一価の陽イオンになるイメージを思い出すと考えやすいと思います。

そして、㋔は フェルミ準位　です。まず、半導体の性質に関わるエネルギー準位は「下から価電子帯、禁制帯、伝導帯」です。そしてフェルミ準位とは、あるエネルギー準位を占める期待値が 「1/2」 になるようなエネルギー準位のことです。

イメージとしては、エネルギーを「家賃」、準位を占めているかどうかを「人が入居しているかどうか」に対応させるとつかみやすいかもしれません。例として、家賃 3 万円以下、3~9 万円台、 10 万円以上　という３つのエリアにはっきりわかれている地域を考えます。今、『3万円以下はほぼ入居済、ほとんど空き家なし、10 万円以上の所はいっぱい空いており、 家賃６ 万円の家々が、ちょうど 半々入居者いて、半分は空き家です』という状況を考えます。すると、この半々の家賃である「６ 万円」がフェルミ準位に対応する値です。

先の例において「3~9万円台」が禁則帯にあたり、半導体の種類によって、禁則帯のど真ん中がフェルミ準位であったり、価電子帯側や伝導帯側に寄っていたりします。

以上より、正解は 1 です。
類題 H28no29

図のような演算増幅器を用いた回路において，角周波数 ω の交流電圧 v_i を入力したときの出力電圧を v_o とする。このときの回路の伝達関数 G(jω) = v_o/v_i として最も妥当なのはどれか。

ただし，R₁ 及びR₂ は抵抗の値であり，C はコンデンサの容量である。また，演算増幅器は理想的なものであり，演算増幅器の入力端子間の電位差はなく，各入力端子には電流が流れ込まないものとする。

　解 説　　　　　

R₁ に流れる電流を I₁、R₂ に流れる電流を I₂ とします。 コンデンサの抵抗にあたる、コンデンサのインピーダンスは 1/jωC です。電圧降下 V = RI の R の所として、コンデンサでは 1/jωC を使うことで、以下のように３つの式を立てることができます。

②から v_i = R₁I₁ + 1/jωC × I₁ です。そして、③から、I₁R₁ = I₂R₂ なので、v_o = v_i -2R₁I₁ とすることで、v_o = -R₁I₁ +  1/jωC × I₁ です。従って、以下のように伝達関数 G(jω) を求めることができます。

以上より、正解は 1 です。
類題 H28no25