図のように，真空中で3 重の同心の導体球殼にそれぞれ電気量 Q が与えられているとき，同心球殼の中心からの距離 r（b <  r < c）における電界の大きさとして最も妥当なのはどれか。ただし，真空の誘電率を ε₀ とし，各導体球殼の厚さは無視できるものとする。

　解 説　　　　　

『導体球殻に電荷＋Q』ときたら球殻の外側に閉曲面考えて、ガウスの法則です。
→曲面内部の電荷が結局＋Q
→点電荷が真ん中にある時のガウスの法則と同じ！
→E(r) = Q/4πε₀r²(公式として覚えてOK)

本問では、b < r < c で閉曲面を考えると、曲面内部の電気量＋２Q。従って、E(r) = （2Q）/4πε₀r² = Q/2πε₀r²

以上より、正解は 2 です。

図のように，磁束密度が B の鉛直上向きの一様な磁界中に，水平面と θ (0 < θ < π/2) の傾角をなす 2 本の導体棒 a，b が l の間隔で平行に固定してある。この上に，質量が m の導体棒 c を水平面と平行になるように載せ，導体棒 a，b に直流電源を接続して電流 I を流したとき，導体棒 c が静止した。このとき，導体棒 c に流れる電流 I の向き及び大きさの組合せとして最も妥当なのはどれか。ただし，重力加速度の大きさを g とし，導体棒どうしの摩擦は無視できるものとする。

　解 説　　　　　

フレミング左手の法則　を考えると、電流が①の方向だと、発生する力が斜面下向きになるため、棒は静止しません。よって、電流の向きは②です。正解は 4 or 5 です。

斜面方向の重力は mg sin θ・・・(1) です。

電流、磁界、受ける力と来たら、公式：F＝IBl sin Φ です。Φは、電流と磁界のなす角です。本問では、電流と磁界は垂直なので Φ = 90° です。つまり、F = IBl となります。この力を斜面方向に分解すれば、IBl cos θ・・・(2) となります。

(1) = (2) の時に導体棒 c が停止します。
等式を立てて、電流 I について解けば、以下の通りです。

tan θ = sin θ/cos θ なので
正解は 4 です。

類題 H26no23

コイルの自己インダクタンスに関する記述㋐，㋑，㋒のうち妥当なもののみを全て挙げているのはどれか。

㋐　無限長の円筒コイルにおいて，単位長さ当たりの巻き数を2 倍にすると，自己インダクタンスは4 倍になる。

㋑　環状コイルにおいて，比透磁率 μ_r の鉄心を入れると，自己インダクタンスは μ_r 倍になる。

㋒　100 mH の自己インダクタンスをもつコイルに流れる電流が，10 秒間に1 A の割合で一様に変化すると，このコイルには1 V の起電力が生じる。

1．㋐
2．㋐，㋑
3．㋐，㋑，㋒
4．㋑，㋒
5．㋒

　解 説　　　　　

全部知識だけど、本番で覚えているかというと少しつらい知識。イ、ウで判断したい問題です。

ア：「無限長　円筒コイル」と来たら L＝n²μ₀S です。n が巻数なので、n が 2 倍なら、L 4 倍となります。

イ：「環状コイル」　と来たら、L = N²μS／ｌです。比透磁率 μ_r というのは、μ が、μ_r 倍 ということなのでL も μ_r 倍でOKです。

ウ：V＝RI　みたいな感じで、V = ーLdI/dt　が公式です。L に 0.1 、dI/dt = 0.1 を入れると – 0.01 なので誤りです。

以上より、正解は 2 です。

図のような抵抗値が R の抵抗を 12 個組み合わせた回路に，電圧 V の電池を接続したとき，流れる電流 I の大きさとして最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

上図を　１つの単位と見ます。
本問の回路は左右対称なので、左半分だけに注目すると

という形と解釈できます。

一つの単位は、抵抗 R の並列なので、合成すれば R/2 です。それが、直並列になっているので、並列部分をまず合成すれば R/4 となる。次に直列の合成は、抵抗の和なので R/2  + R/4 を計算すれば、3R/4 です。

これが左半分の合成抵抗なので、これを 2 倍すれば全体の合成抵抗となります。すなわち、 3R/4 × 2 = 3R/2 です。I = V/R なので、 V/(3R/2) =2V/3R です。

以上より、正解は 3 です。

図のような抵抗値 R の抵抗，インダクタンス L のコイル，静電容量 C のコンデンサが接続された回路に，角周波数 ω の正弦波交流電圧を加えたところ，正弦波交流電圧と同相の電流 I が流れた。このとき，角周波数 ω として最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

全体のインピーダンス Z を考えると 直列の RL 部分が R+jωL、これと並列のコンデンサ部分 1/jωC の並列なので Z = 1/{1/(R+jωL) + jωC} です。

電圧と同相の電流が流れたということは、インピーダンスによる位相のずれがおきていない→虚数部分（リアクタンス部分）が 0 です。ところが式変形が大変そうです。このような時は、インピーダンスの逆数である アドミタンス Y を考えます。Y = 1/(R+jωL ) + jωC です。これを整理して、同相なので虚部＝０を解きます。以下のような式変形になります。※ j が虚数単位。

以上より、正解は 5 です。

図のような RC 回路における入力電圧 e_i(t) ，出力電圧 e_o(t) の関係を示す伝達関数 G(s) 及びこの回路のインパルス応答 h(t) の組合せとして最も妥当なのはどれか。ただし，t= 0 においてコンデンサに電荷は蓄えられていないものとする。

なお，表はラプラス変換表であり， e_i(t) ，e_o(t) のラプラス変換をそれぞれ， E_i(s) ，E_o(s)  とするとき，伝達関数 G(s) は、G(s) = E_o(s)/E_i(s) である。

下図１の部分の電圧降下に注目すれば、e_{i(t) ー} Ri(t) =  e_o(t) です。また、下図２の部分に注目し、コンデンサの基本式 Q = CV より、V = Q/C です。Q = ∫ i(t) dt です。よって、e_o(t) = ∫ i dt/C です。

２式より
e_{i(t) ー} Ri(t)  = ∫ i dt/C　↔  e_i(t) =  ∫ i(t) dt/C + Ri(t)・・・（１） です。
また、e_o(t) = ∫ i dt/C・・・（２） です。

（１）、（２）をそれぞれラプラス変換すると
E_i(s) = F(s)/sC + RF(s)=F(s)(R+1/sC)
E_o(s) = F(s)/sC です。
伝達関数を考えると、以下のように式変形することで、1/(1+sRC) となります。

次に、インパルス応答とは「あるシステムに、非常に短い信号（インパルス）を入力した時の出力」です。入力と出力の関係を示す伝達関数がわかれば、なんとなくそこからわかりそうな雰囲気があるのではないでしょうか。

具体的にインパルス応答は、伝達関数を逆ラプラス変換すると求めることができます。「表の右の列から左の列に戻すゲーム」と考えればよいです。 1/(s+a) = e^-at に注目します。

以上より、正解は 1 です。

システムの安定性に関する次の記述の㋐，㋑に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

「フィードバック制御システムの安定性判別方法として，ボード線図を用いたものとナイキスト線図を用いたものが知られている。

あるシステムのボード線図が図Ⅰのように得られたとき，このシステムは安定と判別され，ゲイン余裕は約㋐，位相余裕は約㋑である。

また，図Ⅱはある他のシステムのナイキスト線図であり，一巡伝達関数G（j~）のベクトル軌跡が点（-1，0）の右側を通過しているため，このシステムは安定と判別され，ゲイン余裕，位相余裕は図のように表される。」

　㋐　㋑
1． 7 dB 35°
2． 7 dB 55°
3． 7 dB 80°
4． 13 dB 35°
5． 13 dB 55°

　解 説　　　　　

ボード線図やナイキスト線図とは、伝達関数の 「s（複素数）」の所に「jω」を代入した「周波数応答」をグラフにしたものです。なみなみした入力を入れた時、どう出力が出るかを表していると考えればよいです。

ゲイン余裕は「位相が－１８０の時ゲインが０dB から、何 dB になっているか」です。下図部分を読むことで、正解は  4 or 5 です。

位相余裕は「ゲイン 0 の時の位相差を見て－１８０までどれだけあるか」です。下図部分を読むことで、大体 35 とわかります。

以上より、正解は 4 です。

ちなみに、ボード線図における安定性判別では、位相－１８０°通過時のゲイン値が負　また、ゲイン０の時の位相の値が－１８０より小さければ安定です。

7.50 kW の直流電動機が 1250 min^-1 で回転しているときのトルクはおよそいくらか。ただし，鉄損及び機械損は無視できるものとする。

1. 9.50 N・m
2. 47.8 N・m
3. 57.3 N・m
4. 75.0 N・m
5. 93.8 N・m

　解 説　　　　　

トルクの公式　T＝P／ω ※ただし、ω は回転速度（rad/s）です。 １分 1250 回＝１秒間に 125/6 回転です。１回転＝ 2 π （rad）なので、125π/3 rad/s とわかります。公式より、T＝7500/(125π/3) です。π/3 ≒ 1.05 として大体 60弱 です。

以上より、正解は 3 です。

半導体に関する次の記述の㋐～㋓に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

・高純度のシリコン（Si）に， 5 価の原子であるヒ素（As）を添加すると， ㋐のすぐ㋑にドナー準位が形成され，n 型半導体となる。

・p 型半導体と n 型半導体を接合すると，接合部付近には㋒が形成され， ㋓が生じる。

㋐　㋑　㋒　㋓
1．価電子帯　上　反転層　電子親和力
2．価電子帯　下　空乏層　拡散電位
3．伝導帯　上　反転層　拡散電位
4．伝導帯　上　空乏層　電子親和力
5．伝導帯　下　空乏層　拡散電位

　解 説　　　　　

半導体の性質に関わるエネルギー準位は「下から価電子帯、禁制帯、伝導帯」です。この間の話なので「価電子帯の上」か、「伝導帯の下」という組み合わせと考えられます。正解は 1 or 5 です。

生じるのは拡散電位です。電子親和力とは、最外殻に電子を1つ取り込んで、1価の陰イオンになるときに生じるエネルギーのことです。

以上より、正解は 5 です。

図のような演算増幅器を用いた回路において，入力電圧 v₁，v₂ を入力したとき，出力電圧 v_o として最も妥当なのはどれか。ただし，演算増幅器は理想的なものであり，演算増幅器の入力端子間の電位差はなく，各入力端子には電流が流れ込まないものとする。

　解 説　　　　　

下図のように注目し、３つの式を立てます。

①は同類項を整理しておけば v₁ – 3RI₁ = v_o です。②より、v₂ = 6RI₂ です。以下のように式変形することで v_o = -2(v₁-v₂) です。

以上より、正解は 1 です。
類題 H26no30