真空中に極板間隔 d,  極板面積 S, 静電容量 C の平行平板コンデンサがある。このコンデンサの極板間に図のように厚さ d/2、面積 S、比誘電率 ε_r の誘電体を挿入したときの静電容量を C′ とするとき,、C’/C として最も妥当なのはどれか。ただし真空の誘電率を ε₀ とする。

　解 説　　　　　

コンデンサなので、Q=CV、C = εS/d ※ ε = 1/4πk を思い出します。

また、誘電体の挿入が行われたら、分解して「直列の 2 つのコンデンサ」と考えれば OK です。２つのコンデンサがあって、静電容量がそれぞれ C₁,C₂ なら、合成すると C₁・C₂/（C₁+C₂） です。

まず以下のように、誘電体入りのコンデンサを「２つの直列のコンデンサ」とみなします。

公式より
C₁ = εS/(d/2) = 2εS/d、C₂ = ε_rεS/(d/2) = 2ε_rεS/d なので、合成の公式から

C’/C = C’×1/C = C’ × d/εS なので、残るのは 2ε_r/(1+ε_r) です。

以上より、正解は 4 です。

図のように、無限長の直線導線 X Y が3m の間隔をおいて平行に配置されている。各導線に電流を流したところ X から 1m、Y から 2m にある点 P での磁界の大きさは 0 であった。X には図のような向きに 1A の電流が流れている。このとき Y に流れている電流の向き及び大きさの組合せとして最も妥当なのはどれか。

向き　大きさ
1. ア　0.5A
2. ア　2A
3. ア　4A
4. イ　2A
5. イ　4A

　解 説　　　　　

電流と周囲の磁界の大きさの関係なので、アンペールの法則を思い出します。H = I/2πr です。つまり、電流の強さに磁界の強さは比例します。また、距離には反比例します。

点 P において、X、Y それぞれに流れる電流によって発生する磁界の大きさが重ね合わさって 0 になっています。つまり、距離が 2 倍だから、電流も 2 倍流れていないときれいに打ち消し合いません。よって、電流の大きさは 2A とわかります。

あとは磁界の向きがちょうど逆なら OK です。これは右ねじの法則です。右手で親指を立てて、電流の向きに親指を向けて残りの４本の指先の向く方に円をイメージします。すると、X によって、点Pで 「下向き」です。よって、Y によって、点Pで「上向き」になるような電流の向きを考えます。すると、電流の向きは ア です。

以上より、正解は 2 です。

図のように一様な磁界中で、辺の長さ a,b 巻数 N の長方形コイルが，長さ a の二つの辺の中点を通る軸を回転軸として、角速度 ω で回転している。このコイルに発生する誘導起電力の最大値 V に関する記述として最も妥当なのはどれか。ただし回転軸は磁界の方向と垂直であるものとする。

1. a のみを 2 倍にしたとき V は 1/2 倍になる。
2. b のみを 2 倍にしたとき V は 2 倍になる。
3. ω のみを 2 倍にしたとき V は変化しない。
4. ω のみを 2 倍にしたとき V は 4 倍になる。
5. N のみを 2 倍にしたとき V  は 1/2 倍になる。

　解 説　　　　　

ファラデーの電磁誘導の法則より、V = -N(dΦ/dt) です。Φは磁束です。「dΦ/dt」 が、「貫く磁束が時間に対して変化する割合」です。

ωとは角速度です。角速度とは「１秒間に何ラジアン回転するか」です。従って、ω が 2 倍になれば、回転速度が 2 倍です。つまり、貫く磁束が変化する割合も 2 倍になります。よって、ω のみ 2 倍にすれば、「V は２倍」と考えられます。選択肢 3,4 は誤りです。

また
ファラデーの法則から、V は N に比例するので、選択肢 5 は誤りです。

そして
a か b が 2 倍になれば、磁束が通過する面積が 2 倍になります。そのため、Φ が 2 倍になるので V も ２倍と考えられます。

以上より、正解は 2 です。

図のような回路において電流 I はいくらか。

1. －2A
2. －1A
3. 0A
4. 1A
5. 2A

　解 説　　　　　

電池が 2 つあるので、キルヒホッフの法則で解こうと考えます。8V の方に流れる電流を I₁、 4V の方に流れる電流を I₂ とします。方向は電池をマイナス極からプラス極に横切る方向とひとまず仮定します。電流則より、 I₁ = I + I₂ が成立します。

次に、任意の閉回路に対して成立する電圧則を用いて I を求めます。上の小さな閉回路に注目すれば、起電力の和が 8 です。電圧降下の和は 4I₁ + 2I です。同様に、下の小さな閉回路に注目すれば、起電力の和が 4 です。電圧降下の和は ー２I＋２I_２です。

これで「未知数が I,I₁,I₂ の３つ」で、「式も３つ」できたので、解くことができます。
I₂ = I₁ーI を代入すれば、下の式が「4 = -2I + 2(I₁-I)」 です。整理すれば、4 = -4I + 2I₁ です。8 = 2I + 4I₁ と連立すれば、I = 0、I₁ = 2 とわかります。ちなみに I₂ = 2 となります。

以上より、正解は 3 です。

図のような回路の正弦波交流電圧について、振幅を変えずに周波数を100Hz 10kHz 1MHz と順次切り替えたところ、回路に流れる電流の振幅がそれぞれ I₁、I₂、I₃ となった。I₁、I₂、I₃ の大小関係として最も妥当なのはどれか。

1. I₁ ＜ I₂ ＜ I₃
2. I₁ ＜ I₃＜ I₂
3. I₂ ＜  I₁ ＜ I₃
4. I₂ ＜ I₃＜  I₁
5. I₃＜ I₂ ＜  I₁

　解 説　　　　　

RCL 直列回路（で、R がない）と考えます。その場合は以下の公式がポイントです。

Z は合成抵抗と考えれば OK です。すると ω が大きくなれば、ωL の項は大きくなり、1/ωC の項は小さくなります。本問ではコンデンサの静電容量が「10pF」すなわち「10×10^-12」というとてつもなく小さい数なので、1/ωC がめちゃくちゃ大きい数です。従って、ωL を無視できると考えます。√の中身は結局の所、「 （1/ωC）² 」の大小によって、大小が決まるということです。

そして、ω が大きくなるほど、ωC が大きくなるため、1/ωCは小さくなります。すると、√の中身が小さくなります。つまり、「 Z は ω が大きくなるほど小さくなる」と評価できます。Z、すなわち合成抵抗が小さいと、電流は大きくなるはずです。よって、I₁ < I₂ < I₃ です。

以上より、正解は 1 です。

ある回路に流れる電流の時間変化を求めるためラプラス変換を用いた演算子法により回路解析を行った。電流 i(t) のラプラス変換が (5s+2)/(s²+s) と求められたとき i(t) として最も妥当なのはどれか。なお必要に応じて右のラプラス変換表を用いてもよい。

1. e^-3t＋ 2t
2. e^-t ＋ 2t
3. e^-t ＋ 2e^t
4. 2e^-t － 1
5. 3e^-t ＋ 2

　解 説　　　　　

ラプラス変換とは、ある関数に e^-st をかけて、０～∞まで積分する、という変換のことです。微積分を掛け算や割り算で処理できるという強みがあり、微分方程式を解くための有効な手法の一つです。本問はとりあえずラプラス変換したらこうなったけど、元の式はなんだったでしょう？という問題です。

選択肢 1 が正解だったとすれば
表を参考にすれば変換後「 1/(s+3) + 2/s 」となるとわかります。通分すると分母が s(s+3) なので誤りです。

選択肢 2 が正解とすれば
変換後 「1/(s+1) + 2/s = (3s+2)/s(s+1)」です。惜しくも分子が違います。よって誤りです。

選択肢 3 が正解とすれば
変換後「1/(s+1) + 2/(s-1)」なので、通分すると分母が (s+1)(s-1) なので誤りです。

選択肢 4 が正解とすれば
変換後「 2/(s+1) -1/s = (s-1)/s(s+1)」です。惜しくも分子が違います。 よって誤りです。

以上より、１～４誤りなので、正解は 5 です。

図Ⅰ のようなフィードバック制御系のブロック線図においてそれぞれの伝達関数 B/A、D/C の組合せとして最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

フィードバック系ブロック線図の伝達関数について、以下の 『B/A = G₁/(1+G₁G₂)』は基礎知識です。

ちなみに、この伝達関数の導出は以下のようになります。

本問ではそれぞれ、「G₂=1」,「G₁=1」 の場合と考えればよいです。

以上より、正解は 5 です。

図のように一次巻線の巻数が N₁ 、二次巻線の巻数が N₂ の理想変圧器において、二次側に抵抗負荷を接続し一次側に振幅 V の正弦波交流電圧を加えた。このとき抵抗負荷に加わる電圧の振幅として最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

理想変圧器では、「巻き数の比」が電圧比、「巻き数の逆比」が電流比です。電力(VI)は一定です。本問で、例えば N₁ = 100、N₂ = 2000 とすると、巻き数比が 20 です。よって電圧は 20倍になります。

以上より、正解は 4 です。

図Ⅰにそれぞれ pnp 形トランジスタと npn 形トランジスタの構造図を表す。トランジスタを活性領域で動作させるためにバイアス電圧を加えるとき図中の ア ～ エ に当てはまる図記号の組合せとして最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

トランジスタの実体は、2種類の半導体を組み合わせたものです。半導体は、電子が余っていて negative な n 型半導体（例 Si + P)と、電子が足りてない positive な p 型半導体（例 Si + B) の 2 種類があります。図Ⅰは pnp 型トランジスタ、図Ⅱは npn 型トランジスタです。

トランジスタとは、電流を増幅したり制御したりする、電子回路素子の一つです。E（エミッタ）、C（コレクタ）、B（ベース）という３つの電極を持ちます。「ベース→エミッタ」に電流を流すことで、E→C に電流が流れます。したがって「B→E」の所が n 型半導体（negative） か p 型半導体 (positive) かという点に注目すれば、㋐、㋒の電池の正負がわかります。

図Ⅰでは、「B→E」の所 が 「n → p」 なので ㋐ の右側が負極、左側が正極でなくてはなりません。つまり、左側が長いほうなので、正解は 1~3 です。

図Ⅱでは、「B→E」 の所 が 「p → n」 なので、㋒ の右側が正極、左側が負極でなくてはなりません。つまり、右側が長いほうです。

以上より、正解は 2 です。

図のような演算増幅器を用いた回路において、入力電圧 v_i と出力電圧 v_o との比 v_o/v_i が 25 であった。このとき抵抗値 R₁、R₂ の組合せとして最も妥当なのは次のうちではどれか。ただし演算増幅器は理想的なものであり演算増幅器の入力端子間の電位差はなく各入力端子には電流が流れ込まないものとする。

R₁、R₂

1. 10kΩ　240kΩ
2. 10kΩ　250kΩ
3. 120kΩ　10kΩ
4. 240kΩ　10kΩ
5. 250kΩ　10kΩ

　解 説　　　　　

ポイントは「演算増幅器の入力端子間の電位差はない」という点です。また、接地していたら、V = 0 と読みます。さらに、抵抗があったら電流が流れています。それを I とおきます。すると、以下のように考えることができます。

つまり
R₁I = v_i かつ
R₁I + R₂I = vo です。
この式から I を消去すると、上の式を I = v_i/R₁ として、下の式に代入すれば

以上より、正解は 1 です。