x 軸上の点 x = -a、0、a に、それぞれ電荷量が Q₁、Q₂、Q₃ の三つの点電荷がある。このとき、三つの点電荷に働く力がそれぞれ 0 になるための条件として最も妥当なのはどれか。ただし、Q₁、Q₂、Q₃ はいずれも 0 でないとする。

1．Q₁ = -4Q₂ = Q₃
2．Q₁ = -2Q₂ = Q₃
3．Q₁ = -Q₂ = Q₃
4．Q₁ = 2Q₂ = Q₃
5．Q₁ = 4Q₂ = Q₃

　解 説　　　　　

点電荷間の力なので、クーロンの法則を思い出します。F_クーロン=k Q₁Q₂/r² です。

x 軸上の点 -a においた点電荷に注目します。もしも他の 2 つの点においた点電荷と、電荷の符号が共に同じ場合、反発する力のみを受けるため、働く力が 0 になることはありません。

従って
全ての電荷の符号が同じである選択肢 4,5 は誤りです。

また、クーロンの法則から、受ける力の大きさは距離の 2 乗に反比例します。x 軸上の点 -a においた点電荷から他の点電荷までの距離がそれぞれ a,2a なので、2 乗すれば a²,4a² となります。そのため、力の和がちょうど 0 になるには、他の 2 つの点電荷の大きさの比が 1 : 4 である必要があります。これをふまえれば「Q₁ = -4Q₂ = Q₃」が妥当です。

従って
選択肢 2,3 は誤りです。

以上より、正解は 1 です。

類題 2020年 国家一般職(高卒 技術) No.60 電気基礎
https://yaku-tik.com/koumuin/2020-gijyutu-60/

図のように、真空中に、無限に長い導線と、導線から距離 l だけ離れた一辺の長さが a の正方形の回路がある。図の矢印の向きに、導線に大きさ I₁、正方形の回路に大きさ I₂ の電流を流したとき、導線と正方形の回路間に作用する力として最も妥当なのはどれか。

ただし、真空中の透磁率を μ₀ とし、導線と正方形の回路は同一平面上にあり、正方形の各辺は導線と平行又は垂直であるものとする。また、導線と回路導体の太さは無視できるものとする。

　解 説　　　　　

【電磁力に関する基礎知識】
Ｉ(A) の電流が流れる長さ l (m) の導体と、磁束密度 B (T) の一様な磁界が直行する時、大きさ ＩBl の力が作用します。

向きはフレミングの左手の法則に従います。親指、人差し指、中指をそれぞれ直角に開き、中指を電流の向き、人差し指を磁界の向き (棒磁石であれば N → S) とすると、親指が力の向きと対応します。

正方形の導線は、直線導線 4 つに分けて考えます。

左側の無限に長い直線電流により磁界が生じます。十分長い直線電流 I が作る磁場の強さ H は、直線から r 離れている場所において H = I/2πr…(1) です。磁界の向きは「紙面表から裏に突き抜ける方向」です。電流と磁界が直行するので、① ~ ④ に IBl の力が発生します。

① と ③ については、電流の向きだけ逆になるので、力が打ち消し合って 0 です。そのため無視してかまいません。

② について
無限に長い直線導線からの距離が (l + a) です。 力の向きがフレミングの左手の法則より、直線導線から離れる向きになります。

④ について
無限に長い直線導線からの距離が l です。 力の向きがフレミングの左手の法則より、直線導線に近づく向きになります。左手の向きを合わせるのが大変だったら、電流の向きだけが逆だから ② と逆方向と考えてもよいです。

② よりも ④ の部分の方が、直線導線に近いため、式 (1) から磁界が大きくなります。その結果、受ける力も大きくなります。

以上をまとめると
「①、③ は無視できて、② と ④ が向きが逆だが 大きさが ④ の方が大きい」です。すると、正方形導線の受ける力の向きは、結局 ④ 部分が受ける力の向きです。つまり「直線導線に近づく方向」に力が作用します。従って「引力」です。正解は 1 or 3 or 5 です。

力の大きさは
「④ 部分が受ける力の大きさ：F_④」と、「② 部分が受ける力の大きさ：F_②」の差です。

F_④ = Ｉ₂ ×  (μＩ₁/2πl) × a
F_② =Ｉ₂ ×  (μＩ₁/2π(l+a)) × a と表せます。差は Ｉ₂ ×  μＩ₁ a²/2πl(l+a) です。 差の計算過程は、以下の通りです。※μ₀ の 0 は省略しています。

以上より、正解は 1 です。

図のように、一様な磁界中で、一辺の長さ a、巻数 N の正方形のコイルが、中心軸の回りに角速度 ω で矢印の向きに回転している。a、N、ω のうち、いずれか一つのみの大きさを変えた場合の、コイルに発生する誘導起電力の最大値 V に関する記述として最も妥当なのはどれか。ただし、中心軸は磁界の方向と垂直であるものとする。

1．N を 2 倍にしても、V は変化しない。
2．N を 2 倍にしたとき、V は 4 倍になる。
3．ω を 2 倍にしても、V は変化しない。
4．a を 2 倍にしたとき、V は 2 倍になる。
5．a を 2 倍にしたとき、V は 4 倍になる。

　解 説　　　　　

ファラデーの電磁誘導の法則より、巻数 N のコイルであれば、V = -N(dΦ/dt) です。Φは磁束です。「dΦ/dt」 が、「貫く磁束が時間に対して変化する割合」です。

選択肢 1,2 ですが
誘導起電力 V と 巻数 N は比例します。そのため、N が 2 倍なら、V も 2 倍です。選択肢 1,2 は誤りです。

選択肢 3 ですが
ω が 2 倍になると、磁束の変化の割合も大きくなります。そのため、V が変わらないわけではありません。選択肢 3 は誤りです。

選択肢 4,5 ですが
a が 2 倍になると、面積が 4 倍になります。磁束が通過する面積が 4 倍になります。つまり、Φ が 4 倍になるので V も 4 倍と考えられます。選択肢 4 は誤りです。選択肢 5 は妥当です。

以上より、正解は 5 です。

類題 H24 no23 誘導起電力
https://yaku-tik.com/koumuin/h24-denjyou-23/

図Ⅰのようにスイッチ S が開いた状態の回路では、抵抗 Ra に 6 A、抵抗 Rb に 3 A の電流が流れ、図Ⅱのようにスイッチ S を閉じた状態の回路では、抵抗 Ra に 6 A、抵抗 Rb に 6 A の電流が流れた。このとき、抵抗 Ra と抵抗 Rb の抵抗値の組合せとして最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

まず図Ⅱに注目します。
スイッチ S を閉じると、4 Ω の抵抗を通らなくてよい迂回路 (下図赤矢印コース) ができるため、4 Ω の抵抗は意味がなくなります。つまり無いものと考えてよいです。

すると図Ⅱは、「Ra と Rb の並列回路」とみなせます。並列回路では 電圧は等しくなります。これは基礎知識です。同じ電圧で同じ電流が流れているため、抵抗が等しいとわかります。つまり、Ra = Rb です。選択肢 1 or 3 or 5 が正解です。

次に、図Ⅰに注目します。
キルヒホッフの法則より、E = Ra × 6、E = (Rb + 4) × 3 が成立します。

選択肢の数値を代入すれば
Ra = Rb = 4 の時に、式の左辺が共に E = 24 となり、妥当です。他の選択肢の数値では E が等しくならず、不適切です。

以上より、正解は 3 です。

図のような抵抗値 200 Ω の抵抗、インダクタンス 125 mH のコイル、静電容量 C のコンデンサが並列接続された回路において、角周波数 400 rad/s の正弦波交流電圧を加えたところ、回路の合成インピーダンスの大きさ [Z] が 200 Ω となった。このとき、C はおよそいくらか。

1．25 μ F
2．50 μ F
3．100 μ F
4．500 μ F
5．1 mF

　解 説　　　　　

【交流 RLC 並列回路の基礎知識】
交流 RLC 並列回路において、インピーダンスを Z とおくと、1/Z = 1/R + 1/jωL + 1/(1/jωC) が成立します。j は虚数単位  j² = -1 です。 

共振周波数の条件は交流 RLC 直列回路の時と同じです。すなわち、ωL = 1/ωC…(1) の時です。※ 角振動数と振動数の関係「ω = 2πf」に注意 !

合成インピーダンスが R と等しくなっていることから、400 rad/s は共振周波数です。(1) より、400L = 1/400C です。L = 125 × 10^-3 = 0.125 なので、400L は 本問において「50」です。

50 = 1/400C  より
20000C = 1 

∴C = 1/20000
= 1/2 × 1/10000
= 0.5 × 10^-4
= 50 × 10^-6
= 50 μF です。

以上より、正解は 2 です。

四端子回路の縦続接続に関する次の記述の ㋐、㋑、㋒ に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

と表せる。この A ～ D を四端子定数 (F パラメータ) という。

図Ⅱ及び図Ⅲの四端子回路における四端子定数はそれぞれ

図Ⅳの四端子回路は図Ⅱ及び図Ⅲの四端子回路を縦続接続したものであるので、四端子定数は、それぞれの縦続行列の ㋑ で求められる。よって、図Ⅳの回路における四端子定数は

　解 説　　　　　

㋐ ですが
図Ⅲは、図Ⅱにおける Z₁ が 0 である場合と考えることができます。そのため、㋐ は 1 です。正解は 1 ~ 3 です。

㋑ ですが
四端子回路をつなげた場合、四端子定数は各縦続行列の「積」で求めることができます。これは基礎知識です。正解は 1 or 2 です。

㋒ ですが
図Ⅳは、図Ⅲー図Ⅱとつなげた回路とみることができます。従って、以下のように計算すれば、1 + Z₁/Z₃ です。

以上より、正解は 1 です。

類題 2020 no26 四端子回路
https://yaku-tik.com/koumuin/2020-denjyou-26/

図のような RLC 回路において、入力電圧 e_i(t) と出力電圧 e_o(t) の関係を示す伝達関数 G(s) として最も妥当なのはどれか。

なお、表はラプラス変換表であり、e_i(t)、e_o(t) のラプラス変換をそれぞれ、E_i(s)、E_o(s) とするとき、伝達関数 G(s) = E_o(s)/E_i(s) である。

　解 説　　　　　

※回路方程式を解かないといけない問題ですが、このレベルの問題は出題頻度が低く、試験合格には不要です。深入りしないように気をつけてください！

R,L,C における電圧降下は、それぞれ流れる電流を i(t) として、Ri(t)、L(di(t)/dt)、1/C × ∫ i(t) dt です。これは基礎知識です。

本問において、R 2 つの並列回路は合成して、R/2 とします。以下の図のように合成した抵抗を 1 つにまとめた上で、電流 i(t) が C,L,R/2 に流れるとします。

電圧降下に注目すれば、以下のような 2 つの式をたてることができます。

図の下、左側の式より
e_i (t) = (R/2) × i(t) + L(di (t)/dt)+ 1/C × ∫ i (t) dt です。

i (t) = f (t) として ラプラス変換すれば
L(e_i (t))
= (R/2) × F(s) + sLF(s) + (1/Cs) × F(s)
= F(s) × (R/2 + sL + 1/Cs) です。

一方、図の下、右側の式より
e_o (t) = L(di (t)/dt) です。

やはり i (t) = f (t) として ラプラス変換すれば
L(e_o(t)) = F(s) × sL です。

つまり
G (s) = (F(s) × sL)/{F(s) × (R/2 + sL + 1/Cs)}です。

F(s) が約分できて
G (s) = sL/ (R/2 + sL + 1/Cs) です。分母・分子に 2Cs をかけると
2s²LC/(2 + sRC + 2s²LC) と表せます。

以上より、正解は 5 です。

類題 H25 no27 RLC 回路
https://yaku-tik.com/koumuin/h25-denjyou-27/

図のような一次巻線及び二次巻線の巻き数が N₁ 及び N₂ の理想変圧器において、二次側に抵抗値 R の抵抗負荷を接続し、一次側に実効値 V の正弦波交流電圧を加えた。一次電流の実効値 Ｉ がＩ=9V/4R で表せるとき、N₁ と N₂ の比率として最も妥当なのはどれか。

　解 説　　　　　

理想変圧器では、巻き数の比が電圧比、巻き数の逆比が電流比です。電力(VI)は一定です。これが基礎知識です。

一次側の電力 P は
P = VI
= V(9V/4R)
= 9V²/4R… (1) です。

二次側の電圧を V₂ とおきます。巻数の比が N₁：N₂ なので
V₂ = (N₂/N₁) × V と表せます。

二次側の電流を I₂ とおきます。オームの法則 V = RI → I = V/R より
I₂ = V₂/R
= {(N₂/N₁) × V}/R です。

従って
二次側の電力は
V₂ × I₂
= (N₂/N₁) × V × {(N₂/N₁) × V}/R
= (N₂/N₁)² × V²/R…(2) です。

(1) = (2) より
(N₂/N₁)² = 9/4 　∴ N₁：N₂ = 2:3 です。

以上より、正解は 2 です。

類題 H29no28 理想変圧器
https://yaku-tik.com/koumuin/h29-denjyou-28/

電気抵抗率に関する次の記述の ㋐、㋑、㋒ に当てはまるものの組合せとして最も妥当なのはどれか。

「真性半導体では、温度が上がると電気抵抗率は ㋐ する。高純度のシリコン (Si) にヒ素 (As) をわずかに添加した不純物半導体では、ヒ素 (As) の割合が増加すると電気抵抗率は ㋑ する。金属では、温度が上がると電気抵抗率は ㋒ する。」

　解 説　　　　　

【温度と抵抗率の関係】
一般に、金属は高温ほど電気抵抗率が高くなり、半導体では高温ほど電気抵抗率が小さくなります。

従って
㋐ は「減少」です。㋒ が「増加」です。

ちなみに ㋑ ですが
真性半導体は、添加物を加えていない純粋な半導体のことです。この状態では、ほぼ絶縁体です。不純物をわずかに加えることで、電気伝導率が上昇します。いいかえれば、電気抵抗率は減少します。

以上より、正解は 4 です。

類題 H30no29 真性半導体
https://yaku-tik.com/koumuin/h30-denjyou-29/

図のような演算増幅器を用いた回路において、電圧 v_i を入力したときに出力される電圧を v_o とする。この回路の電圧利得　はおよそいくらか。

ただし、演算増幅器は理想的なものであり、演算増幅器の入力端子間の電位差はなく、各入力端子には電流が流れ込まないものとする。

1．-10
2．-9
3．1
4．9
5．10

　解 説　　　　　

下図のように見て、電圧降下に注目して 2 つの式を立てます。

① より v_i – RI = 0
② より v_{i –} 10RI = v_o

① より の式から v_i = RI です。
② より の式から v_o = -9RI です。

従って
v_o/v_i 
= -9RI/RI
= -9 です。

以上より、正解は 2 です。

類題 2019 no30 演算増幅器
https://yaku-tik.com/koumuin/2019-denjyou-30/