極板間が比誘電率ε_rの誘電体で満たされている平行平板コンデンサに一定の直流電圧が加えられている。このコンデンサに関する記述a～eとして、誤っているものの組合せを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし、コンデンサの端効果は無視できるものとする。

1. 極板間の電界分布はε_rに依存する。
2. 極板間の電位分布はε_rに依存する。
3. 極板間の静電容量はε_rに依存する。
4. 極板間に蓄えられる静電エネルギーはε_rに依存する。
5. 極板上の電荷(電気量)はε_rに依存する。

1. a、b
2. a、e
3. b、c
4. a、b、d
5. c、d、e

　解 説　　　　

まず、重要な式として、電界Eと電位Vは次のような関係にあります。

• E：電界 [V/m]
• V：電位 [V]
• d：極板間の距離 [m]

よって、問題文「a」の電界分布も「b」の電位分布も比誘電率ε_rに依存しないことがわかります。

続いて、静電容量Cと静電エネルギーWの式は以下の通りです。

• C：静電容量 [C]
• ε_r：比誘電率 (単位なし)
• ε₀：真空の誘電率 [F/m]
• S：極板面積 [m²]
• d：極板間の距離 [m]

よって、問題文「c」の静電容量は比誘電率ε_rに依存し、「d」の静電エネルギーも静電容量に依存するので間接的にε_rに依存します。

最後に問題文「e」の電荷Qですが、これは次の式で表されます。これも重要公式の一つです。

よって、やはり静電容量に依存するので間接的にε_rに依存します。

以上から、aとbの内容が誤っているので、正解は(1)となります。

次の文章は、帯電した導体球に関する記述である。

真空中で導体球A及びBが軽い絶縁体の糸で固定点Oからつり下げられている。真空の誘電率をε₀[F/m]、重力加速度をg[m²/s]とする。A及びBは同じ大きさと質量m[kg]をもつ。糸の長さは各導体球の中心点が点Oから距離l[m]となる長さである。

まず、導体球A及びBにそれぞれ電荷Q[C]、3Q[C]を与えて帯電させたところ、静電力による(　ア　)が生じ、図のようにA及びBの中心点間がd[m]離れた状態で釣り合った。ただし、導体球の直径はdに比べて十分に小さいとする。

このとき、個々の導体球において、静電力F＝(　イ　)[N]、重力mg[N]、糸の張力T[N]、の三つの力が釣り合っている。三平方の定理よりF²＋(mg)²＝T²が成り立ち、張力の方向を考えるとF/Tはd/2lに等しい。これらよりTを消去し整理すると、dが満たす式として、

が導かれる。ただし、係数k＝(　ウ　)である。

次に、AとBとを一旦接触させたところAB間で電荷が移動し、同電位となった。そしてAとBとが力の釣合いの位置に戻った。接触前に比べ、距離dは(　エ　)した。

上記の記述中の空白箇所(ア)～(エ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　解 説　　　　

(　ア　)について、電荷は+と－なら引き合いますが、+同士や－同士だと反発力が働きます。今回は導体球A、Bともに+なので、(　ア　)には「反発力」を入れるのが適切です。

(　イ　)について、静電気力の公式は以下の通りです。これは最重要公式として必ず押さえておきたい数式です。

• F：静電気力[N]
• ε₀：真空の誘電率　8.854×10^-12[F/m]
• Q：電荷[C]
• d：電荷間の距離[m]

今回は上式のQ₁とQ₂にそれぞれQと3Qを入れればよいので、以下のように計算することができます。

(　ウ　)について、問題文によると、三平方の定理の式を整理したものが係数kを含んだ式になるということです。そのため、この定理の式を起点に考えます。

ここで、問題文でF/T=d/2lと与えられている上に、kを含む等式の両辺に「d/2l」という形が残っているため、上式を変形して「F/T」の形を作った上で「d/2l」を代入します。

このあとの式変形には様々なやり方がありますが、選択問題である限りは選択肢に合うような形にしなければなりません。選択肢を見ると、(1)～(5)のいずれも「mg」がこの形で存在します。

上式では「(mg)²」となっているので、この相違を意識しながら以下のように式変形します(このあたりの計算は種々のやり方があります。以下は一例です)。

これで上式の右辺は問題文の式と一致しました。左辺については、問題文にあるF/T=d/2lという式と(　イ　)で求めた結果を使うと、以下のように式変形できます。

「(d/2l)³」でくくっているところは強引な式変換に思えるかもしれませんが、問題文の等式の左辺がこうなっているので、それに合わせただけです。

よって、係数kは次のようになります。これが(　ウ　)の答えです。

(　エ　)について、2つの導体球を接触させた場合、電荷が移動することはあっても総量が変わることはありません。つまり、Qと3Qだったものが同電位になったとすれば、それは2Qと2Qになっています(合計は4Qで不変です)。

接触前後の反発力Fの式は以下のように表すことができます。

• 接触前(Qと3Q)

• 接触後(2Qと2Q)

接触後の反発力Fは接触前と変わらないので、分子が大きくなったということは分母も大きくなるはずです。よって、距離dも大きくなると判断できるので、(　エ　)には「増加」が入ります。

以上から、

• ア：反発力
• イ：3Q²/4πε₀d²
• ウ：16πε₀l²mg/3Q²
• エ：増加

となるので、正解は(1)です。

次の文章は、強磁性体の応用に関する記述である。

磁界中に強磁性体を置くと、周囲の磁束は、磁束が(　ア　)強磁性体の(　イ　)を通るようになる。このとき、強磁性体を中空にしておくと、中空の部分には外部の磁界の影響がほとんど及ばない。このように、強磁性体でまわりを囲んで、磁界の影響が及ばないようにすることを(　ウ　)という。

上記の記述中の空白箇所(ア)～(ウ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

• 　(ア)　　　　(イ)　　　(ウ)

1. 通りにくい　　内部　　磁気遮へい
2. 通りにくい　　外部　　磁気遮へい
3. 通りにくい　　外部　　静電遮へい
4. 通りやすい　　内部　　磁気遮へい
5. 通りやすい　　内部　　静電遮へい

　解 説　　　　

強磁性体とは、比透磁率(真空の透磁率に対する透磁率の比)μ_rが1よりも非常に大きい物質のことを指す言葉です。ちなみに、比透磁率μ_rが1よりも大きい(非常にではない)場合は常磁性体、1よりも小さい場合は反磁性体といいます。

よって、強磁性体は磁束を通しやすい性質を持ち、磁束は強磁性体の中を通っていきます。つまり、(　ア　)は「通りやすい」、(　イ　)は「内部」となります。

また、強磁性体を中空にしておけば、周囲の磁束は全て強磁性体に引っ張られてその内部を通っていくため、中空には磁気がない状態となります。このように、強磁性体でまわりを囲んで、磁界の影響を遮へいすることを「磁気遮へい」というので、これが(　ウ　)です。

以上から、

• ア：通りやすい
• イ：内部
• ウ：磁気遮へい

となるので、正解は(4)です。

図のように、透磁率μ₀[H/m]の真空中に、無限に長い直線状導体Aと1辺a[m]の正方形のループ状導体Bが距離d[m]を隔てて置かれている。

AとBはxz平面上にあり、Aはz軸と平行、Bの各辺はx軸又はz軸と平行である。A、Bには直流電流I_A[A]、I_B[A]が、それぞれ図示する方向に流れている。

このとき、Bに加わる電磁力として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

なお、xyz座標の定義は、破線の枠内の図で示したとおりとする。

　解 説　　　　

Bに加わる電磁力が問われていますが、Bは正方形をしているので、直線の導体が4本あるとして分けて考えます。

わかりやすいのがBの正方形のうち、上辺と下辺です。上辺は電流が紙左から右へと流れ、下辺は右から左へと流れていているので、向きが反対です。そしてAからの距離は上辺も下辺も同じなので、上辺に加わる電磁力と下辺に加わる電磁力は、大きさが全く同じで、符号が反対ということになります。よって、この2辺分だけを考えると、その合力は0です。

次に正方形の左辺と右辺を考えます。これらも流れる電流の向きが違うので、加わる電磁力の符号が反対になりますが、Aの導体からの距離も異なるため、加わる電磁力の大きさも変わってきます。電磁力の式は以下の通りです。

• F：反発力 [N]
• μ：透磁率 [H/m]
• I：電流 [A]
• l：導線の長さ [m]
• d：導体間距離 [m]

左辺については、この式のdはdのまま、lはaになります。右辺については、この式のdがd＋aになり、lはaになります。符号は上記の通り反対になるので、合力はこれらの差を求めればよいです。

よって、答えが(2)と(3)に絞られます。

最後に力の向きを決めます。

導体Aの電流の向きは紙面上から下で、これにより発生する磁界の向きは右ねじの法則に従います。そのため、導体Aよりも右側にある導体Bのところでは、磁界の向きは奥側から手前側へと向かう方向となります。

すると、導体Bを流れる電流の向きは問題の図で与えられているので、あとはフレミングの左手の法則を使えば、力の向きがわかります。

つまり、導体Bの左辺に注目すると、電流は下から上、磁界は奥から手前なので、働く力の向きは右向き、つまり＋x(正)の方向となります。一方、導体Bの右辺に注目すると、電流は上から下、磁界は奥から手前なので、働く力の向きは左向き、つまり－x(負)の方向となります。

ただし、すでに示した電磁力の式からもわかる通り、導体間距離が近いほど電磁力は大きくなるので、右辺よりも左辺の影響のほうが大きいことがわかります。よって、全体で考えると、導体Bに加わる電磁力は＋x(正)の方向であると判断することができます。

以上から、正解は(2)となります。

図に示す直流回路は、100Vの直流電圧源に直流電流計を介して10Ωの抵抗が接続され、50Ωの抵抗と抵抗R[Ω]が接続されている。電流計は5Aを示している。

抵抗R[Ω]で消費される電力の値[W]として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。なお、電流計の内部抵抗は無視できるものとする。

1. 2
2. 10
3. 20
4. 100
5. 200

　解 説　　　　

以下に示す回路図を見ながら解説をお読みください。

まずは問題文に電流計が5[A]を示しているとあるので、上図①のように記入できます。

続いて上図②について、電流と抵抗がわかっているので、電圧はその積を計算すればよいので、50[V]とわかります。

次に上図③について、電源電圧が100[V]で、10[Ω]の抵抗の端子電圧が50[V]であることから、抵抗Rや50[Ω]の抵抗の端子電圧は100－50＝50[V]と計算できます。

すると、上図④のように50[Ω]の抵抗を流れる電流が1[A]であるとわかります。

上図⑤のところで、50[Ω]の抵抗を流れる電流が1[A]なら、抵抗Rを流れる電流は5－1＝4[A]となります。

以上から、抵抗Rのところの電圧は50[V]、電流は4[A]であるとわかったので、抵抗Rは次のように求めることができます。

よって、抵抗Rで消費される電力Pの値は次の通りとなります。

以上から、正解は(5)です。

図のような直流回路において、抵抗6Ωの端子間電圧の大きさVの値[V]として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

1. 2
2. 5
3. 7
4. 12
5. 15

　解 説　　　　

求めたいのは回路図の中央にある抵抗の端子間電圧V[V]です。

まず、下図のように左右にある電源を流れる電流をそれぞれI₁[A]、I₂[A]とすると、中央の抵抗を流れる電流はI₁＋I₂[A]と表すことができます。

次に、回路の左半分(上図の矢印①)と右半分(上図の矢印②)のそれぞれでキルヒホッフの第二法則を使って式を立て、それらを連立方程式として解くことで、次に示すようにI₁[A]、I₂[A]を計算することができます。

これらの連立方程式を解くと、I₁=1.8[A]、I₂＝0.2[A]となります。

よって、求めたいV[V]はオームの法則を使うと次のように計算できます。

以上より、正解は(4)となります。

図のように、抵抗、切換スイッチS及び電流計を接続した回路がある。

この回路に直流電圧100Vを加えた状態で、図のようにスイッチSを開いたとき電流計の指示値は2.0Aであった。また、スイッチSを①側に閉じたとき電流計の指示値は2.5A、スイッチSを②側に閉じたとき電流計の指示値は5.0Aであった。

このとき、抵抗rの値[Ω]として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし、電流計の内部抵抗は無視できるものとし、測定誤差はないものとする。

1. 20
2. 30
3. 40
4. 50
5. 60

　解 説　　　　

まず、スイッチSを開いた場合は回路の右側には電流が流れないので、回路図は下図の赤点線のようになります。これにキルヒホッフの第二法則を適用すると、次の(1)式で表すことができます。

【スイッチSを開いたとき】

問題文では続いてスイッチSを①側に閉じていますが、②側に閉じるほうから考えたほうがわかりやすいので、ここでは先に②側に閉じる場合を考えます。すると、回路図は下図の赤点線のようになります。

【スイッチSを②側に閉じたとき】

上図において、電源から出た電流は抵抗R₁を通ったあとに下側と右側に分かれそうですが、右側を通ると抵抗が一切なく電源まで戻れるため、実際には全ての電流が右側へ進みます(抵抗R₂に電流は流れません)。

よって、この回路にキルヒホッフの第二法則を適用すると、次の(2)式のようにR₁[Ω]を算出することができます。

また、(1)式と(2)式より、R₂[Ω]は次の(3)式のようになります。

最後に、スイッチSを①側に閉じた場合、回路図は下図の赤点線のようになります。なお、未知の電流や端子間電圧には適当な変数を当てています。

【スイッチSを①側に閉じたとき】

上図において、抵抗R₁のところでオームの法則を使うと、次のようにV₁[V]を計算できます。

さらに、V₁[V]とV₂[V]を合わせると電源電圧の100[V]になるので、差し引きでV₂[V]を求めることができます。

(3)式と(5)式より、オームの法則からI₂[V]が計算できます。

最後に、抵抗rのところでオームの法則を使うと、求めたいr[Ω]が算出できます。

以上から、正解は(5)となります。

図のような交流回路において、電源の周波数を変化させたところ、共振時のインダクタンスLの端子電圧V_Lは314Vであった。共振周波数の値[kHz]として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

1. 2.0
2. 2.5
3. 3.0
4. 3.5
5. 4.0

　解 説　　　　

RLC直列回路の共振状態では、誘導性リアクタンスX_L[Ω]の大きさと容量性リアクタンスX_C[Ω]の大きさが等しくなります。これら2つのリアクタンスは位相が真逆(X_Lはπ/2の遅れで、X_Cはπ/2の進み)なので、その作用は互いに打ち消し合います。

よって、RLCのうちLとCが完全に打ち消されるので、結果としてRのみの回路と見なせます。

上図より、この回路を流れる電流I[A]は次のようになります。

ここで元の図に戻って考えると、問題文よりV_L＝314[V]なので、問題の図は以下のように表すことができます。なお、コイルのリアクタンスX_Lを表す式(X_L＝2πfL)は最重要公式として押さえておいてください。

よって、上図緑色で示したX_L＝2πfLのうち、左辺のX_Lはオームの法則を使って具体的に計算できるため、求めたいf[kHz]は次のように算出することができます。

以上から、正解は(2)となります。

次式に示す電圧e[V]及び電流i[A]による電力の値[kW]として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

1. 0.95
2. 1.08
3. 1.16
4. 1.29
5. 1.34

　解 説　　　　

交流の場合、電圧や電流の波形はsinカーブを描き、それらの値が刻一刻と変動します。sinθ自体は最大値が1なので、sinθの直前に付いている数値(係数)が、その電圧値や電流値の最大値になります。そして、その最大値を√2で割った数値を実効値と呼び、交流の電力を求める際にはこの実効値を用います。

また、問題文に書かれている電圧eと電流iはそれぞれ2つの項から構成されていて、どちらも1項目は各周波数がω、2項目は3ωになっていることが読み取れます。これは、ひずみ波交流の基本波と第3調波を表しており、このような場合は基本波と第3調波を分けて電力を計算する必要があります。

つまり、問われている電力は次のような式で表すことができます。

• P、P’：基本波または第3調波の電力 [W]
• E、E’：基本波または第3調波の電圧の実効値 [V]
• A、A’：基本波または第3調波の電流の実効値 [A]
• θ、θ’：EとAまたはE’とA’の位相差

上で示した(1)式に具体的な数値を入れて以下のように計算を進めることで、問われている電力を求めることができます。

よって、正解は(2)となります。

図のように、電圧E[V]の直流電源、スイッチS、R[Ω]の抵抗及び静電容量C[F]のコンデンサからなる回路がある。

この回路において、スイッチSを1側に接続してコンデンサを十分に充電した後、時刻t＝0sでスイッチSを1側から2側に切り換えた。

2側に切り換えた以降の記述として、誤っているものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

ただし、自然対数の底は、2.718とする。

1. 回路の時定数は、Cの値[F]に比例する。
2. コンデンサの端子電圧v_C[V]は、Rの値[Ω]が大きいほど緩やかに減少する。
3. 時刻t＝0sから回路の時定数だけ時間が経過すると、コンデンサの端子電圧v_C[V]は直流電源の電圧E[V]の0.368倍に減少する。
4. 抵抗の端子電圧v_R[V]の値は負である。
5. 時刻t＝0sにおける回路の電流i[A]は、Cの値[F]に関係する。

　解 説　　　　

(1)に関して、RC直列回路における時定数Tの式は、

と表すことができるので、この記述は正しいです。

(2)で、(1)の解説の通り、Rが大きいと時定数Tも大きくなります。Tが大きければそれだけ定常状態(コンデンサに蓄えられたエネルギーを放出しきる)までの時間が長くなるということなので、v_cの減少は緩やかになります。よって、これも正しい記述です。

(3)について、スイッチSを1側にして充分に時間が経つと、コンデンサの端子電圧v_Cは電源電圧Eと等しくなります。その後、スイッチを2側にすることで蓄えられたエネルギーが徐々に消費されるので、v_Cも時間とともに減少します。

このような充電と放電に関して、時間tとコンデンサの端子電圧v_cの関係をグラフにすると、次のようになります。

上記に記入してある通り、Eの63.2%分だけ充電するのに掛かる時間が時定数Tです。また、放電の際に、63.2%分だけ消費するのに掛かる時間も同じく時定数Tとなります。

よって、(3)のようにv_C＝Eの状態から時定数の時間が経過すると、63.2%失って36.8%残るため、これも正しい記述といえます。

(4)で、充電時は直流電源から電流が流れ出るので、問題の図の回路を時計回りに電流が流れます。つまり、スイッチSが1側に接続してあるときは抵抗の端子電圧v_R[V]の値は正となります。

一方、放電時はコンデンサから抵抗へと反時計回りに電流が流れるので、v_Rの極性は逆転します。よって、スイッチSを2側に切り換えた以降はv_Rの値は負になるので、これも正しい記述です。

(5)に関して、コンデンサにエネルギーが充分に蓄えられてからスイッチを切り替えているので、t=0のときのコンデンサの端子電圧v_Cは、電源電圧Eと同じ大きさです(上図の放電時の図におけるt=0のところ参照)。

よって、放電を初めた瞬間だけはこのコンデンサは直流電源と同じ挙動を見せるため、電流iはCの値に関係なく、EをRで除した値となります。

このように考えて答えを(5)として構わないと思いますが、もう少し厳密に考えるなら、RC直列回路を流れる電流は以下の式で表されるので、

今回のようにt=0だと、

となって、iはEとRだけで決まるということがわかります。

以上から、(5)の記述が誤りなので、正解は(5)となります。