図に示すように、誘電率ε₀[F/m]の真空中に置かれた二つの静止導体球A及びBがある。電気量はそれぞれQ_A[C]及びQ_B[C]とし、図中にその周囲の電気力線が描かれている。

電気量Q_A＝16ε₀[C]であるとき、電気量Q_B[C]の値として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

1. 16ε₀
2. 8ε₀
3. －4ε₀
4. －8ε₀
5. －16ε₀

　解 説　　　　

まず前提かつ重要な知識として、電気力線は正電荷(＋)から負電荷(－)へ向かって延びています。磁気の場合にN極からS極へと向かうのと同じです。一方、＋同士や－同士は電気力線がつながりません。

本問の場合、問題の図でAからBへ電気力線が延びているため、Aが正電荷(＋)でBが負電荷(－)だとわかります。

ここで、問題文よりQ_A＝16ε₀[C]とありますが、図でAから延びている電気力線(矢印)もちょうど16本なので、1本分の電気量が1ε₀[C]に相当することになります。

一方で、図でBに入り込む電気力線の数は8本なので、Bの電気量はQ_B＝－8ε₀[C]であると判断することができます。

以上から、正解は(4)です。

図のように、平行板コンデンサの上下極板に挟まれた空間の中心に、電荷Q[C]を帯びた導体球を保持し、上側極板の電位がE[V]、下側極板の電位が－E[V]となるように電圧源をつないだ。

ただし、E＞0とする。同図に、二つの極板と導体球の間の電気力線の様子を示している。

このとき、電荷Q[C]の符号と導体球の電位U[V]について、正しい記述のものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

1. Q＞0であり、0＜U＜Eである。
2. Q＞0であり、U＝Eである。
3. Q＞0であり、0＜E＜Uである。
4. Q＜0であり、U＜－Eである。
5. Q＜0であり、－E＜U＜0である。

　解 説　　　　

まず、問題文と図の条件から、上側極板の電位がE[V]、下側極板の電位が－E[V]であることがわかります。また、電気力線は正電荷(＋)から負電荷(－)へ向かって延びるので、これらを図に描き込むと、次のように表すことができます。

上図において、電荷Q[C]を帯びた導体球のところを見ると、電気力線が入り込む数(－)よりも出ていく数(＋)のほうが多いことがわかります(inが1本、outが9本)。つまり、トータルで考えるとこの導体球は正電荷(＋)の性質を持っていることになります。

よって、電荷Q[C]は「Q＞0」の関係が成り立ちます。

続いて、導体球の電位Uについて考えます。上記の通り、上側極板の電位がE[V]、下側極板の電位が－E[V]であり、ちょうど真ん中の位置の電位が0[V]となります。

ここで、この導体球はトータルで正電荷(＋)を帯びているため、極板間のうち上側極板のほうに寄っていることがわかります。つまり、0[V]よりもE[V]側にあるということです。ただし、少しは負電荷(－)の要素もあるので、完全にE[V]になるわけではありません。

よって、導体球の電位U[V]は「0＜U＜E」の範囲におさまります。

以上から、正解は(1)となります。

無限に長い直線状導体に直流電流を流すと、導体の周りに磁界が生じる。この磁界中に小磁針を置くと、小磁針の(　ア　)は磁界の向きを指して静止する。

そこで、小磁針を磁界の向きに沿って少しずつ動かしていくと、導体を中心とした(　イ　)の線が得られる。この線に沿って磁界の向きに矢印をつけたものを(　ウ　)という。

また、磁界の強さを調べてみると、電流の大きさに比例し、導体からの(　エ　)に反比例している。

上記の記述中の空白箇所(ア)～(エ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

• (ア)　　　(イ)　　　　(ウ)　　　　(エ)

1. N極　　放射状　　　電気力線　　距離の2乗
2. N極　　同心円状　　電気力線　　距離の2乗
3. S極　　放射状　　　磁力線　　　距離
4. N極　　同心円状　　磁力線　　　距離
5. S極　　同心円状　　磁力線　　　距離の2乗

　解 説　　　　

無限に長い直線状導体に直流電流を流すと、下図のようにその電流に応じた強さの磁界が導体の周りに円を描くように発生します。

このとき、直線導体を流れる電流がつくる磁界Hは、以下の式で表されます。今回は計算問題ではありませんが、この式は重要公式としてぜひ押さえておきたい知識です。

• H：磁界 [A/m]
• I：電流 [A]
• r：導体と磁界の距離 [m]

また、磁界には向きがあります。上図の通り、電流が画面下から画面上に流れている場合、磁界の向きは(上から見て)反時計回りとなります。これは、右ねじの法則に従っています。

以上を踏まえて問題文を見ると、(　ア　)には「N極」、(　イ　)には「同心円状」が入ることがわかります。

(　ウ　)について、磁界の向きに矢印をつけたものは「磁力線」といいます。選択肢にある「電気力線」は、正電荷から負電荷へと向かう線のことです。電気力線の磁気バージョンが磁力線となります。

(　エ　)で、上で示した磁界Hの式を見るとわかるように、導体と磁界の距離rはHに反比例します。よって、(　エ　)は「距離」を選ぶのが適切です。

以上から、(　ア　)は「N極」、(　イ　)は「同心円状」、(　ウ　)は「磁力線」、(　エ　)は「距離」となるので、正解は(4)です。

図のように、無限に長い3本の直線状導体が真空中に10cmの間隔で正三角形の頂点の位置に置かれている。3本の導体にそれぞれ7Aの直流電流を同一方向に流したとき、各導体1m当たりに働く力の大きさF₀の値[N/m]として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし、無限に長い2本の直線状導体をr[m]離して平行に置き、2本の導体にそれぞれI[A]の直流電流を同一方向に流した場合、各導体1m当たりに働く力の大きさFの値[N/m]は、次式で与えられるものとする。

1. 0
2. 9.80×10^－5
3. 1.70×10^－4
4. 1.96×10^－4
5. 2.94×10^－4

　解 説　　　　

本問では3本の導体があり、全て同一条件のものとなっています。また、問われているのは各導体1m当たりに働く力の大きさF₀の値[N/m]なので、どれか1つの導体に注目して考えていけばよいことになります。

よって、今回は正三角形の一番上の頂点に注目して考えていきたいと思います(もちろん、左下や右下を選んでも構いません)。

注目した頂点に対して、求めたい力の大きさF₀と、2本の導体間に働く力の大きさFを図示すると、次のように表すことができます。

これは正三角形なので内角は60°であり、問題文にFの式と各種の数値が与えられているため、問われているF₀は以下のような計算によって求めることができます。

なお、下式において、r[m]のところは10[cm]＝0.1[m]として計算する点に注意してください。

以上から、正解は(3)となります。

図のような直流回路において、抵抗3の端子間の電圧が1.8Vであった。このとき、電源電圧E[V]の値として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

1. 1.8
2. 3.6
3. 5.4
4. 7.2
5. 10.4

　解 説　　　　

本問のように、四角形の辺上にある4つの抵抗に加え、その中心にもう1つの抵抗が並んでいる場合、まずブリッジ回路である可能性を考えたいです。

ブリッジ回路において、四角形の辺上に位置する4つの抵抗のうち、向かい合う2組の抵抗の積が等しいとき、このブリッジ回路は「平衡状態にある」と表現されます。平衡状態にあるときには、四角形の中央にある抵抗には一切電流が流れません。

今回の場合、四角形の辺上に位置する4つの抵抗について、向かい合う2組の抵抗の積はいずれも40で等しいです。よって、中央にある12[Ω]の抵抗には電流が流れません。

つまり、この中央の12[Ω]の抵抗は無いものと見なすことができるので、問題の図は下図のように描き換えることができます。

上図から、この回路の合成抵抗を求めるには、次のように整理しながら計算していけばよいことになります。

1. R₁：4[Ω]と5[Ω]の直列接続
2. R₂：8[Ω]と10[Ω]の直列接続
3. R₃：上記R₁とR₂の並列接続
4. R₄：上記R₃と3[Ω]の直列接続

よって、回路全体の合成抵抗は次のように計算することができます。

ここで、電源を流れる電流Iの大きさは、問題文にある抵抗3[Ω]の端子間電圧1.8[V]から求めることができます。

以上から、(1)式と(2)式より、電源電圧E[V]は次のようになります。

よって、正解は(3)です。

電圧E[V]の直流電源と静電容量C[F]の二つのコンデンサを接続した図1、図2のような二つの回路に関して、誤っているものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

1. 図1の回路のコンデンサの合成静電容量は、図2の回路の4倍である。
2. コンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギーは、図1の回路の方が図2の回路より大きい。
3. 図2の回路に、さらに静電容量C[F]のコンデンサを直列に二つ追加して、四つのコンデンサが直列になるようにすると、コンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギーが図1と等しくなる。
4. 図2の回路の電源電圧を2倍にすると、コンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギーが図1の回路と等しくなる。
5. 図1のコンデンサ一つ当たりに蓄えられる電荷は、図2のコンデンサ一つ当たりに蓄えられる電荷の2倍である。

　解 説　　　　

まず、静電容量の合成について整理します。コンデンサが並列接続のときは、合成静電容量は各静電容量の和で表されます。コンデンサが直列接続のときは、合成静電容量の逆数は各静電容量の逆数の和で表されます。つまり、抵抗の合成に比べてちょうどの反対となります。

よって、問題の図1と図2の合成静電容量をそれぞれC₁、C₂とすると、次のように表すことができます。

以上を踏まえて、各選択肢の内容を確認していきます。

選択肢(1)で、上記の(1)式と(2)式より、C₁は2C[F]、C₂はC/2[F]なので、C₁はC₂の4倍となります。よって、これは正しい記述です。

選択肢(2)で、図1と図2の電界のエネルギーW₁、W₂は、(1)式や(2)式を使うと次のように計算できます。

よって、W₁はW₂よりも大きいので、これも正しい記述です。

選択肢(3)で、図2の回路にコンデンサをさらに2つ直列に追加した場合、合計で4つが直列に並ぶことになります。そのときのコンデンサ全体の合成静電容量C₂₍₄₎と電界のエネルギーW₂₍₄₎は、それぞれ次のように表すことができます。

よって、(3)式と(6)式を比べると、W₁とW₂₍₄₎は一致していないため、選択肢(3)の記述が誤りであると判断することができます。

選択肢(4)で、図2の回路の電源電圧を2倍にすると、そのときの電界のエネルギーW_2(2E)は(4)式を利用すると次のように表されます。

よって、(3)式と(7)式を比べると、W₁とW_2(2E)は一致するため、これは正しい記述です。

選択肢(5)で、図1と図2のそれぞれで、コンデンサ1つあたりに蓄えられる電荷をQ₁、Q₂とすると、次のように計算することができます。

よって、Q₁はQ₂の2倍なので、これも正しい記述です。

以上から、正解は(3)となります。

20℃における抵抗値がR₁[Ω]、抵抗温度係数がα₁[℃^－1]の抵抗器Aと20℃における抵抗値がR₂[Ω]、抵抗温度係数がα₂＝0℃^－1の抵抗器Bが並列に接続されている。その20℃と21℃における並列抵抗値をそれぞれr₂₀[Ω]、r₂₁[Ω]とし、を変化率とする。

この変化率として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　解 説　　　　

まず、基準温度t₀[℃]における抵抗値がR[Ω]で、抵抗温度係数がα[℃^－1]の抵抗器があったとき、ある温度t[℃]における抵抗値R_t[Ω]は次のように表されます。

(1)式の意味合いとして、(　)内は基準温度から変化した分の温度差を表しています。それに抵抗温度係数を掛けることで増加率(または減少率)を示します。そして基準となる1を足したのちにRを掛けることで、任意の温度における抵抗値を求めることができます。

以上から、抵抗器A,Bの20℃と21℃における抵抗値をそれぞれR₁₍₂₀₎、R₂₍₂₀₎、R₁₍₂₁₎、R₂₍₂₁₎とすると、これらは以下のように表すことができます。

ここで、r₂₀はR₁₍₂₀₎とR₂₍₂₀₎が並列接続したときの合成抵抗であり、r₂₁はR₁₍₂₁₎とR₂₍₂₁₎が並列接続したときの合成抵抗なので、(2)式～(5)式を使うと、r₂₀とr₂₁はそれぞれ次のようになります。

よって、(6)式と(7)式を問題文で与えられた変化率の式に代入して計算を進めると、以下のようになります。

以上から、正解は(2)となります。

次の文章は、交流における波形率、波高率に関する記述である。波形率とは、実効値の(　ア　)に対する比(波形率＝実効値/(　ア　))をいう。

波形率の値は波形によって異なり、正弦波と比較して、三角波のようにとがっていれば、波形率の値は(　イ　)なり、方形波のように平らであれば、波形率の値は(　ウ　)なる。

波高率とは、(　エ　)の実効値に対する比(波高率＝(　エ　)/実効値)をいう。波高率の値は波形によって異なり、正弦波と比較して、三角波のようにとがっていれば、波高率の値は(　オ　)なり、方形波のように平らであれば、波高率の値は(　カ　)なる。

上記の記述中の空白箇所(ア)～(カ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

•   (ア)　　　(イ)　　　(ウ)　　　(エ)　　　(オ)　　　(カ)

1. 平均値　　大きく　　小さく　　最大値　　大きく　　小さく
2. 最大値　　大きく　　小さく　　平均値　　大きく　　小さく
3. 平均値　　小さく　　大きく　　最大値　　小さく　　大きく
4. 最大値　　小さく　　大きく　　平均値　　小さく　　大きく
5. 最大値　　大きく　　大きく　　平均値　　小さく　　小さく

　解 説　　　　

交流回路の電流や電圧の波形において、平均値に対する実効値の比を波形率といい、実効値に対する最大値の比を波高率といいます。これは重要事項として押さえておきたい知識です。

よって、(　ア　)には「平均値」が、(　エ　)には「最大値」が入ります。

続いて、電圧v[V]を例にとって説明すると、正弦波(赤色)、三角波(青色)、方形波(緑色)の波形は次のように表すことができます。なお、電流i[A]の場合もアルファベットがvからiに代わるだけで、全く同じ軌跡となります。

• 赤色：正弦波
• 青色：三角波
• 緑色：方形波
• V_max：電圧vの最大値 [V]
• V：電圧vの実効値 [V]
• V_ave：電圧vの平均値 [V]

上記のうち、最も重要かつ頻出なのは正弦波(赤色)です。正弦波のV_max、V、V_aveの関係式は重要公式として覚えておくことをお勧めします。また、方形波(緑色)の場合は覚えるまでもなく、図からV_max＝V＝V_aveであることは明らかです。

そして三角波(青色)の場合は、積分値が方形波(四角形)の半分となるので、平均値V_aveは単純にV_maxの半分だとわかります。実効値はややわかりにくいですが、これがわからなくても選択肢から正解を1つに絞ることができるので、特に気にしなくても大丈夫です。

以上の情報を統合すると、正弦波、三角波、方形波のそれぞれの波形率は、(1)式と(2)式から次のようになります。

よって、正弦波と比較して、三角波の波形率は大きく、方形波の波形率は小さくなるので、(　イ　)には「大きく」が、(　ウ　)には「小さく」が入ります。

同様に、正弦波、三角波、方形波のそれぞれの波高率は、(1)式と(2)式から次のようになります。

よって、正弦波と比較して、三角波の波高率は大きく、方形波の波高率は小さくなるので、(　オ　)には「大きく」が、(　カ　)には「小さく」が入ります。

以上から、

1. 平均値
2. 大きく
3. 小さく
4. 最大値
5. 大きく
6. 小さく

となるので、正解は(1)です。

図のようなRC交流回路がある。この回路に正弦波交流電圧E[V]を加えたとき、容量性リアクタンス6Ωのコンデンサの端子間電圧の大きさは12Vであった。

このとき、E[V]と図の破線で囲んだ回路で消費される電力P[W]の値の組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

• E[V]　　P[W]

1. 20　　　32
2. 20　　　96
3. 28　　　120
4. 28　　　168
5. 40　　　309

　解 説　　　　

まずは、回路図の中央部分について考えます。最初に、6[Ω]のコンデンサの端子間電圧が12[V]だとわかっているので、そこを流れる電流の大きさを計算します。

次に、(1)式より、6[Ω]のコンデンサと8[Ω]の抵抗を流れる電流はともに2[A]となるので、次に示すようにこの2つの合成インピーダンスZ₁[Ω]から、2つ合わせた端子間電圧を計算します。この端子間電圧が電源電圧E[V]に相当します。

また、消費される電力P[W]を計算する際には、有効電力となる抵抗側だけ考慮すればよく、無効電力であるコンデンサの分は考えません。よって、8[Ω]の抵抗で消費する電力P₁[W]は、次のように計算できます。

続いて、回路図の右側について考えます。上記より3[Ω]のコンデンサと4[Ω]の抵抗を合わせた端子間電圧が20[V]だとわかっているので、ここを流れる電流の大きさは次のように計算できます。

よって、4[Ω]の抵抗で消費する電力P₂[W]は、次の通りとなります。

(3)式と(5)式の結果から、回路全体で消費される電力P[W]の値は次のようになります。

(2)式と(6)式から、正解は(2)です。

図の回路のスイッチSをt＝0sで閉じる。電流i_S[A]の波形として最も適切に表すものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし、スイッチSを閉じる直前に、回路は定常状態にあったとする。

　解 説　　　　

本問の場合、スイッチSを閉じる直前の状態ではコンデンサの充電が完了しているため、コンデンサは「開放」状態であり、この回路には周回できる部分が一切ないので、どこにも電流は流れていません。

ここでSを閉じた瞬間に、コイルを含む左半分の回路に電流が流れるようになり、一方でコンデンサを含む右半分の回路もコンデンサが放電を始めるので電流が流れるようになります。

まずは回路の左半分について考えると、電流が流れ始めた瞬間のコイルの両端の電位差は大きく、電流は全然流れません。その後、徐々に電位差が小さくなり(=電流が大きくなっていき)、充分な時間が経ったあとのコイルは、その両端の電位差が0になります。

つまり、コイルは電流が流れた瞬間は「開放」で、定常状態では「短絡」しているものと見なすことができるので、ここを流れる電流i₁[A]は、時間経過とともに次のような軌跡を描きます。

上図において、充電時に電流i₁が最大値の63.2%になるまでに掛かる時間を時定数τといい、RL直列回路ではτ＝L/Rで表されます。

一方、回路の右半分について考えると、充電が完了していたコンデンサは、最初は電源と同じように勢いよく放電しますが、徐々に電流が弱まり、放電し切ったあとは電流が流れなくなります。よって、ここを流れる電流i₂[A]は、時間経過とともに次のような軌跡を描きます。

上図において、放電時は電流i₂が最大値の36.8%(100－63.2)になるまでに掛かる時間が時定数τであり、RC直列回路ではτ＝RCで表されます。

以上から、両方を合わせて考えると、スイッチを流れる電流i_S＝i₁＋i₂[A]は、以下のように常に一定の値となります。

よって、正解は(5)です。