次の文章は、平行板コンデンサに関する記述である。

図のように、同じ寸法の直方体で誘電率の異なる二つの誘電体(比誘電率ε_r1の誘電体1と比誘電率ε_r2の誘電体2)が平行板コンデンサに充填されている。

極板間は一定の電圧V[V]に保たれ、極板Aと極板Bにはそれぞれ＋Q[C]と－Q[C](Q＞0)の電荷が蓄えられている。誘電体1と誘電体2は平面で接しており、その境界面は極板に対して垂直である。ただし、端効果は無視できるものとする。

この平行板コンデンサにおいて、極板A、Bに平行な誘電体1、誘電体2の断面をそれぞれ面S₁、面S₂(面S₁と面S₂の断面積は等しい)とすると、面S₁を貫く電気力線の総数(任意の点の電気力線の密度は、その点での電界の大きさを表す)は、面S₂を貫く電気力線の総数の(　ア　)倍である。

面S₁を貫く電束の総数は面S₂を貫く電束の総数の(　イ　)倍であり、面S₁と面S₂を貫く電束の数の総和は(　ウ　)である。

上記の記述中の空白箇所(ア)～(ウ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　解 説　　　　

まず、問題の図を回路図に描き換えると、次のようになります。

(　ア　)では電気力線の総数の比が問われていますが、問題文より「任意の点の電気力線の密度は、その点での電界の大きさを表す」(電気力線の密度＝電界)とあるので、実質的に、電界E[V/m]に板の面積A[m²]を掛けたものが、電気力線の総数となります。

ここで、電界E[V/m]は次の式で求めることができます。これは重要公式として押さえておいてください。

• E：電界の強さ [V/m]
• V：電圧 [V]
• d：板間距離 [m]

上図の回路図を見てもわかる通り、今回は誘電体1のほうも誘電体2のほうも、ともに極板間の電圧はV[V]、距離はd[m]で同じです。ということは、電界の強さE[V/m]で同一となります。

また、板の面積A[m²]についても双方は同じ大きさであるため、結局、電気力線の総数(＝電界×板の面積)についても、誘電体1側と誘電体2側で同じ数となります。

よって、(　ア　)では電気力線の総数の比を答えればよいので、ここには「1」が入ります。

(　イ　)では電束の総数の比が問われています。電束とは「1[C]分の電気力線のまとまり」のことなので、電束の総数の比を求めたいなら、電荷Q[C]の比を求めればよいです。

電荷Q[C]は次の式で求めることができます。

• Q：電荷[C]
• C：静電容量[F]
• V：電圧[V]

さらに、静電容量C[F]は次の式で求めることができます。

• ε：誘電率[F/m]
• A：板の面積[m²]
• d：板間距離[m]

よって、これらを組み合わせると、以下のようになります。

誘電体1側、誘電体2側の電荷QをそれぞれQ₁、Q₂とすると、その比Q₁/Q₂は次のように計算することができます。

これが電束の総数の比になるので、(　イ　)には「ε_r1/ε_r2」が入ります。

(　ウ　)について、問題文や問題の図ですでに誘電体が充填された状態として、極板間にはQ[C]の電荷が蓄えられていることが明言されています。

面S₁と面S₂を貫く電束の数の総和というのは、極板間の電荷のことなので、何か計算をする必要もなくここはQ[C]となることがわかります。よって、(　ウ　)には「Q」が入ります。

以上から、(　ア　)には「1」が、(　イ　)には「ε_r1/ε_r2」が、(　ウ　)には「Q」が入るので、正解は(1)です。

二つの導体小球がそれぞれ電荷を帯びており、真空中で十分な距離を隔てて保持されている。

ここで、真空の空間を、比誘電率2の絶縁体の液体で満たしたとき、小球の間に作用する静電力に関する記述として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

1. 液体で満たすことで静電力の向きも大きさも変わらない。
2. 液体で満たすことで静電力の向きは変わらず、大きさは2倍になる。
3. 液体で満たすことで静電力の向きは変わらず、大きさは1/2倍になる。
4. 液体で満たすことで静電力の向きは変わらず、大きさは1/4倍になる。
5. 液体で満たすことで静電力の向きは逆になり、大きさは変わらない。

　解 説　　　　

二つの導体小球がそれぞれ正電荷を帯びているのか負電荷を帯びているのか書かれていませんが、両者が同じなら静電力は斥力(反発し合う力)となり、両者の正負が異なるなら静電力は引力となります。

本問では「真空の空間」だったものが「比誘電率2の絶縁体の液体で満たした」状態に変わりますが、電荷の正負が入れ替わるような条件はないので、液体で満たすことで静電力の向きが変わることはありません。よって、この時点で(5)は不適です。

ここで、2つの点電荷(導体小球)の間にはたらく静電気力は以下の式で示されます。

• F：静電気力 [N]
• ε₀：真空の誘電率　8.854×10^-12 [F/m]
• Q：電荷 [C]
• r：電荷間の距離 [m]

また、真空ではなく比誘電率ε_rの条件下だと、2つの点電荷(導体小球)の間にはたらく静電気力は以下の式で示されます。

よって、今回の場合、小球の間に作用する静電力の大きさは次のように変化します。

以上から、液体で満たすことで静電力の向きは変わらず、大きさは1/2倍になるので、正解は(3)です。

次の文章は、強磁性体の応用に関する記述である。

磁界中に強磁性体を置くと、周囲の磁束は、磁束が(　ア　)強磁性体の(　イ　)を通るようになる。このとき、強磁性体を中空にしておくと、中空の部分には外部の磁界の影響がほとんど及ばない。このように、強磁性体でまわりを囲んで、磁界の影響が及ばないようにすることを(　ウ　)という。

上記の記述中の空白箇所(ア)～(ウ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

• 　　ア　　　　イ　　　　　ウ

1. 通りにくい　　内部　　磁気遮へい
2. 通りにくい　　外部　　磁気遮へい
3. 通りにくい　　外部　　静電遮へい
4. 通りやすい　　内部　　磁気遮へい
5. 通りやすい　　内部　　静電遮へい

　解 説　　　　

強磁性体とは、比透磁率(真空の透磁率に対する透磁率の比)μ_rが1よりも非常に大きい物質のことを指す言葉です。ちなみに、比透磁率μ_rが1よりも大きい(非常にではない)場合は常磁性体、1よりも小さい場合は反磁性体といいます。

よって、強磁性体は磁束を通しやすい性質を持ち、磁束は強磁性体の中を通っていきます。つまり、(　ア　)は「通りやすい」、(　イ　)は「内部」となります。

また、強磁性体を中空にしておけば、周囲の磁束は全て強磁性体に引っ張られてその内部を通っていくため、中空には磁気がない状態となります。このように、強磁性体でまわりを囲んで、磁界の影響を遮へいすることを「磁気遮へい」というので、これが(　ウ　)です。

以上から、

• ア：通りやすい
• イ：内部
• ウ：磁気遮へい

となるので、正解は(4)です。

次の文章は、電磁誘導に関する記述である。

図のように、コイルと磁石を配置し、磁石の磁束がコイルを貫いている。

1．スイッチSを閉じた状態で磁石をコイルに近づけると、コイルには(　ア　)の向きに電流が流れる。

2．コイルの巻数が200であるとする。スイッチSを開いた状態でコイルの断面を貫く磁束を0.5sの間に10mWbだけ直線的に増加させると、磁束鎖交数は(　イ　)Wbだけ変化する。また、この0.5sの間にコイルに発生する誘導起電力の大きさは(　ウ　)Vとなる。ただし、コイル断面の位置によらずコイルの磁束は一定とする。

上記の記述中の空白箇所(ア)～(ウ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　　　　ア　　イ　　 ウ

1. 　①　　2　　　 2
2. 　①　　2　　　 4
3. 　①　　0.01　　2
4. 　②　　2　　　 4
5. 　②　　0.01　　2

　解 説　　　　

(　ア　)に関して、電磁誘導では、磁束の変化を妨げるような方向に電流が流れます。つまり、問題の図のように外的要因(磁石)によって左向きの磁束が増えたのであれば、電磁誘導では逆に右向きの磁束を増やすように電流が流れます。

また、コイルを流れる電流の向きと磁束の向きは右ねじの法則に従います。親指(磁束)を右に向けたとき、残り4本の指(電流)を丸めると奥から手前にくるため、電流は奥から手前、つまり②の方向に流れることがわかります。よって、(　ア　)は「②」です。

(　イ　)を含む文章を読むと、コイルの巻数Nが200であること、磁束の増加分ΔΦは10[mWb]であることがわかります。よって、200個の円形コイルがそれぞれ10[mWb]ずつ増加すると考えることができるため、磁束鎖交数の変化は次のように計算できます。

よって、(　イ　)には「2」が入ります。

(　ウ　)について、電磁誘導によって発生する電圧のことを誘導起電力といい、その大きさは以下の式で表されます。

• E：誘導起電力 [V]
• N：巻数
• ΔΦ：磁束の増加分 [Wb]
• Δt：時間 [s]

上式に各数値を代入して計算すると、

となるので、誘導起電力の大きさは4[V]です。よって、(　ウ　)には「4」が入ります。

以上から、(　ア　)は「②」、(　イ　)は「2」、(　ウ　)は「4」となるので、正解は(4)です。

次の文章は、熱電対に関する記述である。

熱電対の二つの接合点に温度差を与えると、起電力が発生する。この現象を(　ア　)効果といい、このとき発生する起電力を(　イ　)起電力という。熱電対の接合点の温度の高いほうを(　ウ　)接点、低いほうを(　エ　)接点という。

上記の記述中の空白箇所(ア)～(エ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

• 　　ア　　　　イ　　　ウ　　エ

1. ゼーベック　　熱　　　温　　冷
2. ゼーベック　　熱　　　高　　低
3. ペルチェ　　　誘導　　高　　低
4. ペルチェ　　　熱　　　温　　冷
5. ペルチェ　　　誘導　　温　　冷

　解 説　　　　

(　ア　)の選択肢には「ゼーベック」と「ペルチェ」がありますが、これら二つの効果は、以下に示すようにちょうど反対の関係があります。

• ゼーベック効果：熱電対の二つの接合点に温度差を与えると、起電力が発生するという現象。熱を電気に変換します。
• ペルチェ効果：異なる二つ金属の接合点に電圧を掛けて電流を流すと、熱を放出または吸収するという現象。電気を熱に変換します。

よって、今回は温度差から起電力を生じているので、(　ア　)には「ゼーベック」を入れるのが適切です。

(　イ　)の選択肢には「熱」と「誘導」がありますが、ゼーベック効果は熱を利用して起電力を生んでいるので、この起電力を「熱起電力」といいます。よって、(　イ　)には「熱」が入ります。

ちなみに、誘導起電力は、前問のように電磁誘導によって生じる起電力のことをいいます。

(　ウ　)と(　エ　)について、熱電対の二つの接合点は「温接点」と「冷接点」と呼んで区別しています。よって、(　ウ　)には「温」を、(　エ　)には「冷」を入れるのが適切です。

以上から、(　ア　)は「ゼーベック」、(　イ　)は「熱」、(　ウ　)は「温」、(　エ　)は「冷」となるので、正解は(1)です。

直流の出力電流又は出力電圧が常に一定の値になるように制御された電源を直流安定化電源と呼ぶ。

直流安定化電源の出力電流や出力電圧にはそれぞれ上限値があり、一定電流(定電流モード)又は一定電圧(定電圧モード)で制御されている際に負荷の変化によってどちらかの上限値を超えると、定電流モードと定電圧モードとの間で切り替わる。

図のように、直流安定化電源(上限値：100A、20V)、三つの抵抗(R₁＝R₂＝0.1Ω、R₃＝0.8Ω)、二つのスイッチ(SW₁、SW₂)で構成されている回路がある。

両スイッチを閉じ、回路を流れる電流I＝100Aの定電流モードを維持している状態において、時刻t＝t₁[s]でSW₁を開き、時刻t＝t₂[s]でSW₂を開くとき、I[A]の波形として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　解 説　　　　

まず、t＝0[s]の状態では両スイッチが閉じているため、R₂やR₃には電流が流れません。下図の赤色のように、抵抗のないスイッチ側を通って回路を1周します。

上図において、問題文より電流は100[A]で、電流が通る抵抗はR₁＝0.1[Ω]だけなので、電圧は10[V]となります。電圧の上限値は20[V]とされているので、この時点では電圧は上限値以下におさまっています。

続いて、t＝t₁[s]でSW₁を開くと、下図のように電流がR₁とR₂を流れるルートに変わります。

このとき電流を100[A]とすると、合成抵抗はR＝R₁＋R₂＝0.2[Ω]なので、電圧は20[V]となります。この時点でも電圧の上限値20[V]にぎりぎりおさまっているので、定電流モードのまま、電流は100[A]流れることがわかります。

最後に、t＝t₂[s]でSW₂を開くと、下図のように電流がR₁とR₂とR₃を流れるルートに変わります。

上図で仮に電流を100[A]とすると、合成抵抗はR＝R₁＋R₂＋R₃＝1[Ω]なので、電圧は100[V]となります。これでは電圧の上限値20[V]を超えてしまうので、この時点で定電圧モードに切り替わります。

定電圧モードでは、電圧が20[V]で一定となるため、合成抵抗1[Ω]と合わせて考えると、この回路を流れる電流は20[A]であることがわかります。

以上から、電流の大きさはt＝0[s]のときに100[A]、t＝t₁[s]のときも100[A]、t＝t₂[s]以降は20[A]となるので、正解は(2)です。

図のように、起電力E[V]、内部抵抗r[Ω]の電池n個と可変抵抗R[Ω]を直列に接続した回路がある。この回路において、可変抵抗R[Ω]で消費される電力が最大になるようにその値[Ω]を調整した。

このとき、回路に流れる電流Iの値[A]を表す式として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　解 説　　　　

問題の図には複数個の電池が並んでいますが、これらは直列接続なので、まとめると下図のような回路図となります。

ここで、可変抵抗R[Ω]で消費される電力が最大になるのは、可変抵抗R[Ω]がそれ以外の合成抵抗(今回はnr[Ω])と同じになるときです。つまり、下式のように表すことができます。

上記より、電流I[A]は次のように計算することができます。

よって、正解は(4)となります。

ただし、出題頻度から見て、上記の法則は必ずしも重要とはいえません。これを知らない場合の解法を以下に示します。

まず、今回は可変抵抗での電力Pを最大にしたいのですが、解説の冒頭で示した回路図より、電力Pは次のように表されます。

上式のままでは分母・分子ともに変数Rが含まれていて、どうしたらPが最大になるのかわかりづらいです。よって、分母・分子それぞれをRで割って、分子から変数Rを消します。

n、E、rは全て定数なので、上式の分子は定数であり、Pを最大にするには分母を最小にすればよいことがわかります。さらにいえば、分母の2nrは定数なので、残りの2項(Rとn²r²/R)の和が最小になるようなRを考えることになります。

ここで、「変数xと変数yの積(xy)が一定であるならば、x＝yのときにその和(x＋y)が最小になる」という法則があります。これを「最小の定理」といいます。

余談ですが、「変数xと変数yの和(x＋y)が一定であるならば、x＝yのときにその積(xy)が最大になる」という法則もあります。これを「最大の定理」といいます。

話を少し戻して、今回は「R」と「n²r²/R」の2項の和を最小にしたいのですが、これらの積は定数であることがわかります。

よって、最小の定理より、積が定数ならこれら2項が同じ値を取るときに、その積は最小値となります。

あとは最初の解法と同様、電流I[A]を次のように計算できます。

以上から、正解は(4)となります。

図1の回路において、図2のような波形の正弦波交流電圧v[V]を抵抗5Ωに加えたとき、回路を流れる電流の瞬時値i[A]を表す式として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし、電源の周波数を50Hz、角周波数をω[rad/s]、時間をt[s]とする。

　解 説　　　　

交流回路での電流の瞬時値i[A]は、下式が基本構造となります。

• i：電流の瞬時値 [A]
• I：電流の実効値 [A]
• √2I：電流の最大値 [A]
• ω：各周波数 [rad/s]
• t：時間 [s]
• θ：位相(遅れ) [rad]

まずは電流Iについて考えます。電圧の最大値が図2より100√2[V]で、抵抗が5[Ω]なので、下式のように電流の最大値√2I[A]を使った等式ができ、Iの値が計算できます。

また、各周波数ωは、問題文に周波数f＝50[Hz]とあることから、以下の計算によって求められます。

最後に位相θについて考えます。図2を見ると、縦軸に最も近い位置でv＝0となるのが、ωt＝π/4であることがわかります。よって、これは位相がπ/4だけ遅れていることになるので、θ＝π/4となります。

以上で求めたI、ω、θを最初の式に代入すれば、求める答えが出ます。

よって、正解は(5)です。

実効値V[V]、角周波数ω[rad/s]の交流電圧源、R[Ω]の抵抗R、インダクタンスL[H]のコイルL、静電容量C[F]のコンデンサCからなる共振回路に関する記述として、正しいものと誤りのものの組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(a)　RLC直列回路の共振状態において、LとCの端子間電圧の大きさはともに0である。

(b)　RLC並列回路の共振状態において、LとCに電流は流れない。

(c)　RLC直列回路の共振状態において交流電圧源を流れる電流は、RLC並列回路の共振状態において交流電圧源を流れる電流と等しい。

• 　(a)　　　(b)　　　　(c)

1. 誤り　　　誤り　　　正しい
2. 誤り　　　正しい　　誤り
3. 正しい　　誤り　　　誤り
4. 誤り　　　誤り　　　誤り
5. 正しい　　正しい　　正しい

　解 説　　　　

(a)について、RLC直列回路の共振状態では、誘導性リアクタンスX_L[Ω]の大きさと容量性リアクタンスX_C[Ω]の大きさが等しくなります。これら2つのリアクタンスは位相が真逆(X_Lはπ/2の遅れで、X_Cはπ/2の進み)なので、その作用は互いに打ち消し合います。

よって、RLCのうちLとCが完全に打ち消されるので、結果としてRのみの回路と見なせます。

ここで(a)の文章を確認すると「LとCの端子間電圧の大きさはともに0である」とありますが、決してL側とC側がそれぞれ消えて0になっているわけではありません。プラスとマイナスで打ち消し合ってトータルで0になるという話なので、(a)の文章は誤りです。

(b)について、RLC並列回路の共振状態でも、誘導性リアクタンスX_L[Ω]の大きさと容量性リアクタンスX_C[Ω]の大きさが等しくなります。直列共振のときと同様、これら2つのリアクタンスは位相が真逆なので、その作用は互いに打ち消し合います。

よって、RLCのうちLとCが完全に打ち消されるので、結果としてRのみの回路と見なせます。

ここで(b)の文章を確認すると「LとCに電流は流れない」とありますが、(a)のときと同様、LとCのそれぞれには電流が流れています。二つを合わせて考えたときに打ち消し合って0と見なせるという話なので、(b)の文章も誤りです。

(c)について、(a)と(b)の解説で示した図を見てもわかる通り、直列でも並列でも、回路全体で考えれば電源と抵抗Rだけの回路と見なすことができます。よって、電源を流れる電流はどちらの場合でも同じ値となるので、(c)の文章は正しいです。

以上から、(a)と(b)は誤り、(c)は正しいので、正解は(1)となります。

RLC直列共振回路についてもっと詳しく知りたい場合はこちらのページを、RLC並列共振回路についてもっと詳しく知りたい場合はこちらのページを参照してください。

開放電圧がV[V]で出力抵抗が十分に低い直流電圧源と、インダクタンスがL[H]のコイルが与えられ、抵抗R[Ω]が図1のようにスイッチSを介して接続されている。

時刻t＝0でスイッチSを閉じ、コイルの電流i_L[A]の時間に対する変化を計測して、波形として表す。R＝1Ωとしたところ、波形が図2であったとする。

R＝2Ωであればどのような波形となるか、波形の変化を最も適切に表すものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし、選択肢の図中の点線は図2と同じ波形を表し、実線はR＝2Ωのときの波形を表している。

　解 説　　　　

各選択肢の違いは、次の2点です。

1. 最終的な電流i_Lの値
2. 上記1.に至るまでの時間

まずは上記1.について考えます。

図2より、R＝1[Ω]のときには、最終的に電流i_Lは3[A]となります。十分に時間が経ったこの段階ではコイルはただの導線と見なせるので、オームの法則より、電源電圧は3[V]だとわかります。

一方、問われているのはR＝2[Ω]のときですが、電源電圧は変わらないので3[V]です。よって、十分に時間が経ったときには、電流i_Lは1.5[A]となります。

以上から、この時点で選択肢は(4)と(5)の2つに絞られます。

続いて、上記2.について考えます。

電流や電圧(今回は電流)が立ち上がってから最大値(定常状態)の約63.2%になるまでに掛かった時間を、「時定数τ」といいます。

RL直列回路における時定数τの式は、以下のように表すことができます。

ちなみに、本問とは関係ありませんが、RC直列回路における時定数τの式は、以下のように表すことができます。

(1)式より、Rが1[Ω]から2[Ω]になった場合、時定数τは半分(1/2)になることがわかります。今回の場合、図2よりR＝1[Ω]のときにはτ≒1[s]と読み取れるので、R＝2[Ω]のときにはτ≒0.5[s]となります。

ここで、時定数τのときの電流値は、最大値の約63.2%です(これは条件に寄らない決まりごとです)。R＝2[Ω]の場合の電流i_Lの最大値は1.5[A]なので、時定数τ≒0.5[s]のときの電流値i_Lτは次のようになります。

よって、選択肢(4)と(5)のうち、時定数τ≒0.5[s]のときの電流値i_Lτが0.948(≒1)[A]であるほうが適切なので、正解は(4)だと判断できます。