電界の状態を仮想的な線で表したものを電気力線という。この電気力線に関する記述として、誤っているものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

1. 同じ向きの電気力線同士は反発し合う。
2. 電気力線は負の電荷から出て、正の電荷へ入る。
3. 電気力線は途中で分岐したり、他の電気力線と交差したりしない。
4. 任意の点における電気力線の密度は、その点の電界の強さを表す。
5. 任意の点における電界の向きは、電気力線の接線の向きと一致する。

　解 説　　　　

(1)について、電気の+と-(正電荷と負電荷)は、磁石のNとSのような関係にあります。よって、正電荷同士または負電荷同士の電気力線は反発しあい(斥力)、正電荷と負電荷の組み合わせであれば引き合います(引力)。つまり、(1)の記述は正しいです。

(2)で、直流電源の電気回路を電流が流れる際、電流の向きは電池の+極から出て、回路をぐるっと廻って-極へと入っていきます。電流は電気力線に沿って流れるため、電気力線は正の電荷から出て負の電荷へ入ることになります。よって、(2)の記述は誤りで、これは反対です。

(3)に関して、(1)で電気と磁石は似たようなものだと紹介しましたが、電気における電気力線は、磁石における磁力線に対応します。方位磁針の磁力線は下図のような感じですが、同様に、正電荷と負電荷が作る電気力線は、さらに下の図のようになります。

上図からわかるように、電気力線は途中で分岐したり、他の電気力線と交差したりしないので、(3)は正しい記述です。

ちなみに、同じ種類の電荷同士だと、下図のような電気力線になります。この場合でもやはり、電気力線は途中で分岐したり、他の電気力線と交差したりしません(下図は正電荷同士ですが、負電荷同士だと、形は同じで向きが反対になります)。

(4)も(3)と同様、磁力線に置き換えて考えるとわかりやすいと思います。磁力線の密度が磁界の強さを表すのと同じく、電気力線の密度が電界の強さを表しています。よって、これも正しい記述です。

(5)も正しい記述で、電界の向きは電気力線の接線の向きとなります。知識として覚えておきたいところです。

極板の面積S[m²]、極板間の距離d[m]の平行板コンデンサA、極板の面積2S[m²]、極板間の距離d[m]の平行板コンデンサB及び極板の面積S[m²]、極板間の距離2d[m]の平行板コンデンサCがある。各コンデンサは、極板間の電界の強さが同じ値となるようにそれぞれ直流電源で充電されている。

各コンデンサをそれぞれの直流電源から切り離した後、全コンデンサを同じ極性で並列に接続し、十分時間が経ったとき、各コンデンサに蓄えられる静電エネルギーの総和の値[J]は、並列に接続する前の総和の値[J]の何倍になるか。その倍率として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし、各コンデンサの極板間の誘電率は同一であり、端効果は無視できるものとする。

1. 0.77
2. 0.91
3. 1.00
4. 1.09
5. 1.31

　解 説　　　　

この問題では静電エネルギーの倍率が問われているので、まず、コンデンサに蓄えられるエネルギーの式を知っておく必要があります。

• W：静電エネルギー[J]
• C：静電容量[F]
• V：電圧[V]

ここで、上式を使って静電エネルギーWを求めようとしても、静電容量Cも電圧Vも問題文では与えられていないパラメータです。そのため、既知の面積Sや距離dを使って、CやVを計算する必要があります。

静電容量Cは、以下の式で求めることができます。

• ε：誘電率[F/m]
• S：板の面積[m²]
• d：板間距離[m]

電圧Vは、以下の式で求めることができます。

• V：電圧[V]
• d：板間距離[m]
• E：電界の強さ[V/m]

上式は3つとも最重要公式として押さえておいてください。

以上が前置きで、ここからが具体的な解法となります。

まず、コンデンサA、B、Cの静電容量をそれぞれC_A、C_B、C_Cとすると、上記で示した通り静電容量Cは面積Sに比例し、距離dに反比例するため、C_Aを基準とすると、C_Bはその2倍(面積が2Sなので)、C_Cはその1/2倍(距離が2dなので)となります。

一方、コンデンサA、B、Cの電圧をそれぞれV_A、V_B、V_Cとすると、電界の強さEは問題文よりどれも同じ値なので、dの違いがそのままVの違いになります。よって、ここでも基準をV_Aとすると、V_BやV_Cは次のようになります。

以上から、問題文の前半時点での静電エネルギーの和W_beforeは、次のように表すことができます。

続いて問題文の後半に入ります。

3つのコンデンサを並列に接続すると、全てのコンデンサの電圧が同じ値となりますが、これは並列接続前のV_A、V_B、V_Cのどれでもない値となるため、よくわかりません。しかし、並列接続の前後において、それぞれのコンデンサに蓄えられていた電荷Qの総量に変化はありません。

よって、並列前の各コンデンサに蓄えられていた電荷をQ_A、Q_B、Q_Cとすると、Q_A+Q_B+Q_Cは常に不変です。ここで、電荷Qは静電容量Cと電圧Vを使って

と表すことができるので、並列接続前のCやVを使えば、電荷Qの総量を計算することができます。

一方、並列接続前後でコンデンサの静電容量Cが変わることはないため、静電容量の合計値Cは、今まで求めた値を使って次のように計算できます。

以上から、並列接続後の静電エネルギーは

となるので、並列接続前後の静電エネルギーの比は、

と計算することができます。

環状鉄心に、コイル1及びコイル2が巻かれている。二つのコイルを図1のように接続したとき、端子A-B間の合成インダクタンスの値は1.2Hであった。次に、図2のように接続したとき、端子C-D間の合成インダクタンスの値は2.0Hであった。

このことから、コイル1の自己インダクタンスLの値[H]、コイル1及びコイル2の相互インダクタンスMの値[H]の組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし、コイル1及びコイル2の自己インダクタンスはともにL[H]、その巻数をNとし、また、鉄心は等断面、等質であるとする。

自己インダクタンスL　相互インダクタンスM

1. 　　0.4　　　　　　0.2
2. 　　0.8　　　　　　0.2
3. 　　0.8　　　　　　0.4
4. 　　1.6　　　　　　0.2
5. 　　1.6　　　　　　0.4

　解 説　　　　

図1と図2の違いは電流の流れる向きですが、それによって双方のコイルに生じる磁束の向きが変わってきます。

図1の場合、仮に電流がAからBへ流れると考えた場合、右ねじの法則を使うとコイル1とコイル2にできる磁束の向きは下図のようになります。

すると、コイル1にできる時計回りの磁束と、コイル2にできる反時計回りの磁束とがぶつかり合います。このような接続の仕方を「差動接続」といいます。

一方、図2の場合には、電流がCからDへ流れると考えた場合、コイル1とコイル2にできる磁束の向きは下図のように先程とは反対になります。

すると、コイル1とコイル2で生じる磁束の回転方向が一緒になります。このような接続の仕方を「和動接続」といいます。

合成インダクタンスは自己インダクタンスと相互インダクタンスを合成したものですが、和動接続か差動接続かによって、合成インダクタンスを表す式は以下のように異なってきます。

• L_wa：和動接続での合成インダクタンス[H]
• L_sa：差動接続での合成インダクタンス[H]
• L₁：コイル1の自己インダクタンス[H]
• L₂：コイル2の自己インダクタンス[H]
• M：相互インダクタンス[H]

今回の問題では、L₁とL₂はともに同じ値Lであり、L_waやL_saは問題文で与えられているため、上記の2つの連立方程式を解けば、LとMを求めることができます。

図は、磁性体の磁化曲線(BH曲線)を示す。次の文章は、これに関する記述である。

1. 直交座標の横軸は、(　ア　)である。
2. aは、(　イ　)の大きさを表す。
3. 鉄心入りコイルに交流電流を流すと、ヒステリシス曲線内の面積に(　ウ　)した電気エネルギーが鉄心の中で熱として失われる。
4. 永久磁石材料としては、ヒステリシス曲線のaとbがともに(　エ　)磁性体が適している。

上記の記述中の空白箇所(ア)、(イ)、(ウ)及び(エ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　　　　　(ア)　　　　　　　(イ)　　　(ウ)　　　　(エ)

1. 磁界の強さ[A/m]　　保磁力　　　反比例　　大きい
2. 磁束密度[T]　　　　 保磁力　　　反比例　　小さい
3. 磁界の強さ[A/m]　　残留磁気　　反比例　　小さい
4. 磁束密度[T]　　　　 保磁力　　　比例　　　大きい
5. 磁界の強さ[A/m]　　残留磁気　　比例　　　大きい

　解 説　　　　

問題にある図は、磁化曲線、BH曲線、ヒステリシス曲線、ヒステリシスループなど様々な呼ばれ方をしていますが、重要かつ頻出のグラフであるため、ぜひ覚えておいてください。

上図の通り、これは横軸が磁界の強さH[A/m]、縦軸が磁束密度B[T]となります。よって、(　ア　)には「磁界の強さ[A/m]」が入ります。

また、H=0のときのBが「残留磁気」、B=0のときのHが「保磁力」なので、(　イ　)は「残留磁気」が正しいです。

交番磁界中に磁性体を置くと鉄損が発生しますが、鉄損の一種である「ヒステリシス損」の大きさが、この曲線に囲われた部分の面積に相当します。よって、ヒステリシス曲線の面積が大きければ大きいほど、熱として失われるエネルギー損失が大きくなるので、(　ウ　)には「比例」が入ります。

磁性材料はその用途によって別の呼び方もあり、磁束を通す目的では「磁心材料」、永久磁石を作る目的では「磁石材料」と呼ばれます。

磁心材料として使うには、透磁率や抵抗率、飽和磁束密度の大きいものを選びます。また、保磁力と残留磁気は小さいほうが有利です。一方の磁石材料は、保磁力や残留磁気の大きいものを選びます。

(　エ　)を含む文章は、永久磁石として保磁力と残留磁気の大小を問うているので、正しいのは「大きい」となります。

図のように直流電源と4個の抵抗からなる回路がある。この回路において20Ωの抵抗に流れる電流Iの値[A]として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

1. 0.5
2. 0.8
3. 1.0
4. 1.2
5. 1.5

　解 説　　　　

問題の図を見ると、電源を中心軸とした左右対称の形をしていることがわかります。…ということは、電流Iは20Ωの抵抗を通った後にちょうど半分ずつ左右に分かれますが、左右どちらも10Ωの抵抗なので、図中の左右にある黒点(●)の位置の電圧はどちらも等しいです。

よって、回路図の上部に5Ωの抵抗があるものの、この抵抗の左右の電荷が等しいため、ここに電荷は流れません。つまり、問題で示されている回路は、5Ωの抵抗を無視して下図のような回路に描き換えることができます。

上図において、右半分(赤い矢印)の部分でオームの法則を使えば、電流Iを求めることができます。

R₁=20Ω、R₂=30Ωの抵抗、インダクタンスL₁=20mH、L₂=40mHのコイル及び静電容量C₁=400μF、C₂=600μFのコンデンサからなる図のような直並列回路がある。

直流電圧E=100Vを加えたとき、定常状態においてL₁、L₂、C₁及びC₂に蓄えられるエネルギーの総和の値[J]として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

1. 0.12
2. 1.20
3. 1.32
4. 1.40
5. 1.52

　解 説　　　　

コイルとコンデンサに蓄えられるエネルギーが問われているので、まずはそれぞれのエネルギーを表す式を確認しておいてください。

• W_L：コイルに蓄えられるエネルギー[J]
• L：コイルのインダクタンス[H]
• I：電流[A]

• W_C：コンデンサに蓄えられるエネルギー[J]
• C：コンデンサの静電容量[F]
• V：電圧[V]

上記に加え、もうひとつ重要事項があります。直流回路においては(！注意！電源が直流電源のときだけ！)、定常状態だとコイルの両端の電位差は0になります。つまり、コイルの部分は「短絡」したただの導線とみなすことができます。

一方、同条件のコンデンサには電流が流れません。つまり、コンデンサの部分は「開放」している状態であるといえます。

コイルは短絡し、コンデンサは開放していると考えると、問題の回路図は以下のように描き換えることができます。

上図においてオームの法則を適用すると、この回路を流れる電流Iを求めることができます。

また、それぞれの抵抗の両端の電位差V₁、V₂も計算することができます。

以上で求めた数値を問題の図に書き加えると、以下のようになります。

よって、L₁、L₂、C₁、C₂に蓄えられるエネルギーの総和Wは、次のように計算することができます。

以上から、正解は(5)となります。

次の文章は、直流回路に関する記述である。

図の回路において、電流の値I[A]は4Aよりも(　ア　)。このとき、抵抗R1の中で動く電子の流れる向きは図の(　イ　)であり、電界の向きを併せて考えると、電気エネルギーが失われることになる。

また、0.25sの間に電源が供給する電力量に対し、同じ時間に抵抗R₁が消費する電力量の比は(　ウ　)である。抵抗は、消費した電力量だけの熱を発生することで温度が上昇するが、一方で、周囲との温度差に(　エ　)する熱を放出する。

上記の記述中の空白箇所(ア)、(イ)、(ウ)及び(エ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　　　(ア)　　　　(イ)　　　(ウ)　　　　(エ)

1. 大きい　　上から下　　0.5　　  ほぼ比例
2. 小さい　　上から下　　0.25　　ほぼ反比例
3. 大きい　　上から下　　0.25　　ほぼ比例
4. 小さい　　下から上　　0.25　　ほぼ反比例
5. 大きい　　下から上　　0.5　　  ほぼ反比例

　解 説　　　　

まず(　ア　)に関しては、4Aよりも大きいか小さいかで考えるよりも、具体的な電流値を計算したほうが早いと思います。問題の回路にある抵抗に、以下のような番号を振って解説します。

抵抗①と②は直列に並んでいるため、これらの合成抵抗は単純な和で、1+1=2[Ω]となります。また、その合成抵抗と③とは並列接続になるため、その合成抵抗は以下のような計算によって、1[Ω]と求めることができます。

続いて、これと④とは直列接続なので、その合成抵抗は、1+1=2[Ω]です。さらに、⑤とは並列になっているので、先程と同様の計算によりここまでの合成抵抗は1[Ω]となります。

最後に⑥との直列接続の結果、最終的な合成抵抗は、1+1=2[Ω]となります。

よって、電源を流れる電流Iの大きさは、

となるので、(　ア　)の答えは、4Aよりも「大きい」となります。

(　イ　)について、電流Iは上記の計算の通り、図の矢印の向きに6Aで流れています。よって、抵抗R₁(解説の図では⑥)のところを電流は下から上へと流れていることになります。電子の流れの向きは電流とは常に反対であるため、(　イ　)には「上から下」を入れるのが適切です。

(　ウ　)を含む文章では0.25sという時間に関する数値が出てきていますが、これには特に意味がありません(電力量を供給する時間と消費する時間がどちらも同じであるため)。

抵抗R₁(解説の図では⑥)とそれ以外((1)～(5))の合成抵抗を分けて図示すると、以下のような回路図が描けます。

上図の(1)～(5)の合成抵抗と、抵抗R₁(上図の⑥)はどちらも同じ1[Ω]なので、これらの消費電力量は等しいはずです。ということは、電源で供給する電力量を1とすれば、抵抗R₁で消費される電力量はその半分の0.5となります。よって、(　ウ　)には「0.5」が入ります。

(　エ　)の選択肢は「ほぼ比例」か「ほぼ反比例」の2択ですが、温度差が大きいほど放出する熱量が小さいというのはおかしいです。もしそうなら、抵抗の温度と周囲の温度とがほぼ同じ場合、分母が0になって爆発的な(数字の上では無限大の)熱量が放出されるということになってしまいます。

もちろん、実際にはそんなはずもなく、熱量は温度差に「ほぼ比例」するのが正解です。

図のように、交流電圧E=100Vの電源、誘導性リアクタンスX=4Ωのコイル、R₁[Ω]、R₂[Ω]の抵抗からなる回路がある。いま、回路を流れる電流の値がI=20Aであり、また、抵抗R₁に流れる電流I₁[A]と抵抗R₂に流れる電流I₂[A]との比が、I₁：I₂=1：3であった。

このとき、抵抗R₁の値[Ω]として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

1. 1.0
2. 3.0
3. 4.0
4. 9.0
5. 12

　解 説　　　　

電源の電圧が100V、電源を流れる電流が20Aとわかっているので、回路全体の合成インピーダンスZは以下のように計算できます。

ここで、リアクタンスX=4Ωとわかっているので、三平方の定理を使えば抵抗Rを求めることができます。

ただし、ここで求めたRは、R₁とR₂です。求めたいのはR₁の値なので、このあとこれを計算していきます。

R₁とR₂とは並列に接続されているため、双方の抵抗の端子間電圧は同じです。ここで、問題文よりI₂=3I₁なので、以下のような関係式が成り立ちます。

よって、R₁とR₂との合成抵抗Rは、

と計算でき、上記の通りR=3Ωなので、

となります。

R=5Ωの抵抗に、ひずみ波交流電流

が流れた。

このとき、抵抗R=5Ωで消費される平均電力Pの値[W]として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし、ωは角周波数[rad/s]、tは時刻[s]とする。

1. 40
2. 90
3. 100
4. 180
5. 200

　解 説　　　　

交流の場合は電流の波形がsinカーブを描き、電流値が刻一刻と変動します。sinθ自体は最大値が1なので、sinθの直前に付いている数値(係数)が、その電流値の最大値になります。そして、その最大値を√2で割った数値を実効値と呼び、交流の電力を求める際にはこの実効値を用います。

また、問題文に書かれている電流iは、2つの電流が合わさったものなので、1項目の電流と2項目の電流のそれぞれに分けて電力を計算する必要があります。(余談：ひずみ波交流電流の1項目を基本波、2項目を第3調波といいますが、それを知らなくても計算には差し支えありません。)

以上より、平均電力Pは次のような計算によって求めることができます。

図のように、電圧E[V]の直流電源に、開いた状態のスイッチS、R₁[Ω]の抵抗、R₂[Ω]の抵抗及び電流が0Aのコイル(インダクタンスL[H])を接続した回路がある。次の文章は、この回路に関する記述である。

1スイッチSを閉じた瞬間(時刻t=0s)にR₁[Ω]の抵抗に流れる電流は、(　ア　)[A]となる。2スイッチSを閉じて回路が定常状態とみなせるとき、R₁[Ω]の抵抗に流れる電流は、(　イ　)[A]となる。

上記の記述中の空白箇所(ア)及び(イ)に当てはまる式の組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　解 説　　　　

一般論として、抵抗、コイル、コンデンサのうち、抵抗はスイッチを入れた直後でも定常状態でも常に同じような働きをしますが、コイルとコンデンサはそうではありません。

コイルについて、電流が流れ始めた瞬間のコイルの両端の電位差は大きく、電流は全然流れません。その後、徐々に電位差が小さくなり(=電流が大きくなっていき)、充分な時間が経ったあとのコイルは、その両端の電位差が0になります。

よって、コイルに関しては、電流が流れた瞬間は「開放」で、定常状態では「短絡」しているものと見なすことができます。

コンデンサはコイルとは対称的で、回路をつないだ直後は電流が流れてコンデンサに電荷が溜まっていきますが、流れる電流は徐々に小さくなっていき、定常状態に達したあとは全く流れなくなります。

よって、コンデンサに関しては、電流が流れた瞬間は「短絡」で、定常状態では「開放」しているものと見なすことができます。

以上を踏まえて問題文を見てみると、(　ア　)を含む文章は、コイルの部分が開放しているものと考えてよいので、以下のような回路図と等価になります。

よって、(　ア　)は次のように計算できます。

また、(　イ　)を含む文章は、コイルの部分が短絡しているものと考えてよいので、今度はR₂に電流が全く流れません。よって、以下のような回路図と等価になるので、(　イ　)は以下のように計算することができます。